2022届高考大一轮复习知识点精练：对数函数及其性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：对数函数及其性质，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=lgax+2+1（a>0，且 a≠1）的图象过定点
A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. −1,1

2. 函数 y=xlnx 的图象大致是
A. B.
C. D.

3. 以下四个数中最大的是
A. ln22B. lnln2C. ln2D. ln2

4. 函数 y=ln1−x 的图象大致为
A. B.
C. D.

5. 集合 A=xy=lnx−1，B=xx>0，则 A∪B=
A. 0,1B. 0,+∞C. 0,+∞D. 1,+∞

6. 若 lg3mA. 0
7. 设 fx=lnx，0A. q=rpC. p=rq

8. 如图，函数 fx 的图象为折线 ACB，则不等式 fx≥lg2x+1 的解集是
A. x−1C. x−1
9. 若函数 fx=lnx−1x+a 在区间 1,e 上存在零点，则常数 a 的取值范围为
A. 0
10. 已知 a=0.72021，b=20210.7，c=lg0.72021，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a

11. 已知 a=lg2e，b=ln2，c=lg1213，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b

12. 已知 2a=3⋅2b−1，c−b=lg12x2+2x+3，则实数 a，b，c 的大小关系是
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. a>c>b

13. 设 a=812，b=lg32，c=lg23 ， 则 a，b，c 的大小关系为
A. a
14. 已知 55<84，134<85．设 a=lg53，b=lg85，c=lg138，则
A. a
15. 函数 fx=lnx−4x 的零点位于区间
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4

16. 若 0A. B.
C. D.

17. 已知函数 fx=x2+176x+1,−2≤x<0,lnx,0A. 1e,56B. 13,1eC. 13,56D. 0,1e

18. 已知奇函数 fx 在 R 上是增函数，gx=xfx，若 a=g−lg25.1，b=g20.8，c=g3，则 a，b，c 之间的大小关系为
A. a
19. 已知函数 fx=lnx2+1，且 a=f0.20.2，b=flg34，c=flg133，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>b>cB. cb>aD. b>c>a

20. 函数 fx=lnx+1x2−2x+1 的部分图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 设集合 A=xy=lgx2−4x+5 ， 则 A= ．

22. 若不等式 x2
23. 已知 a=lg23.6，b=lg43.2，c=lg43.6，则 a，b，c 的大小关系为 ．

24. 设 fx=1x−lgx，则不等式 f1x−1<1 的解集为 ．

25. 已知函数 fx=lg2−x,x<0x−2,x≥0，若函数 gx=a−fx 有四个零点 x1，x2，x3，x4，且 x1
三、解答题（共6小题；共78分）
26. 作出函数 y=∣lg2x∣+2 的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．

27. 已知对数函数 y=fx 的图象经过点 P9,2．
（1）求 y=fx 的解析式；
（2）若 x∈0,1，求 fx 的取值范围；
（3）若函数 y=gx 的图象与函数 y=fx 的图象关于 x 轴对称，求 y=gx 的解析式．

28. 已知函数 fx=lgaa2x+t，其中 a>0 且 a≠1．
（1）当 a=2 时，若 fx（2）若存在实数 m，nm
29. 已知 x>1 且 x≠43，fx=1+lgx3，gx=2lgx2，试比较 fx 与 gx 的大小．

30. 已知函数 fx=ax+ba>0,a≠1 的图象经过 A0,2 和 B2,5．
（1）若 lgax（2）若函数 gx=fx−1,x≤0lg2fx−1+13,x>0，求 gx 的值域．

31. 已知函数 fx=lg12x2−mx−m．
（1）若 m=1，求函数 fx 的定义域；
（2）若函数 fx 的值域为 R，求实数 m 的取值范围；
（3）若函数 fx 在区间 −∞,1−3 上是增函数，求实数 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】令 x+2=1，得 x=−1，此时 y=1．
2. D【解析】当 x→0+，lnx→−∞，
所以 xlnx<0，
当 x→+∞ 时，xlnx→+∞，
所以选D．
3. D【解析】因为 0所以 lnln2<0，ln22又因为 ln2=12ln2所以最大的数是 ln2．
4. C【解析】函数的定义域为 −∞,1，且函数在定义域上单调递减，故选C．
5. B
6. C
7. C【解析】由题意得 p=lnab，q=lna+b2，r=12lna+lnb=lnab=p，
因为 0所以 a+b2>ab，
所以 lna+b2>lnab，
所以 p=r8. C【解析】方法一：由图象可得 fx=2x+2,−1≤x≤0−x+2,0当 −1≤x≤0 时，0≤2x+2≤2，则 lg2x+1≤0,x+1>0, 所以 −1当 0结合函数 y=−x+2−lg2x+1 的单调性（该函数在定义域上单调递减）知 0综上，原不等式的解集为 x−1方法二：令 gx=lg2x+1，作出 gx 的图象，如图．
当 fx=gx 时，x=1，又 x+1>0，所以由 fx≥gx，得 −19. C
10. C
11. D
12. A
13. C
14. A【解析】由题意可知 a,b,c∈0,1，
ab=lg53lg85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，
所以 a由 b=lg85，得 8b=5；由 55<84，得 85b<84，所以 5b<4，可得 b<45；
由 c=lg138，得 13c=8；由 134<85，得 134<135c，所以 5c>4，可得 c>45．
综上所述，a15. D
16. D
17. B
18. C
19. D
20. A
第二部分
21. R 或 −∞,+∞
22. 116,1
【解析】结合函数 y=x2 及 y=lgax 在 0,12 上的图象易知，
a 只需满足条件：023. a>c>b
【解析】因为 a=lg43.6lg42=2lg43.6=lg43.62，又函数 y=lg4x 在区间 0,+∞ 上是增函数，3.62>3.6>3.2，
所以 lg43.62>lg43.6>lg43.2，
所以 a>c>b．
24. 0,12
25. 4,+∞
【解析】由题意，画出函数 y=fx 的图象，如图所示，
又函数 gx=a−fx 有四个零点 x1，x2，x3，x4，且 x1所以 0所以 x1x2=1，x3+x4=4，
所以 ax1x2=a，
x3+x4a=4a，
所以 ax1x2+x3+x4a=a+4a≥2a⋅4a=4，当且仅当 a=2 时“=”成立；
所以 ax1x2+x3+x4a 的取值范围是 4,+∞．
第三部分
26. 先作出函数 y=lg2x 的图象，如图甲．
再将 y=lg2x 在 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方（原来在 x 轴上方的图象不变），得函数 y=∣lg2x∣ 的图象，如图乙；
然后将 y=∣lg2x∣ 的图象向上平移 2 个单位长度，得函数 y=∣lg2x∣+2 的图象，如图丙.
由图丙得函数 y=∣lg2x∣+2 的单调递增区间是 1,+∞，单调递减区间是 0,1，值域是 2,+∞．
27. （1） 设 fx=lgax（a>0，且 a≠1）．
由题意，f9=lga9=2，故 a2=9．
解得 a=3 或 a=−3．
又因为 a>0，所以 a=3．
故 fx=lg3x．
（2） 因为 3>1，所以当 x∈0,1 时，fx<0，
即 fx 的取值范围为 −∞,0．
（3） 因为函数 y=gx 的图象与函数 y=lg3x 的图象关于 x 轴对称，所以 gx=lg13x．
28. （1） 因为 lg222x+t所以 22x+t<2x 无解，等价于 22x+t≥2x 恒成立，
即 t≥−22x+2x=gx 恒成立，即 t≥gxmax．
因为 gx=−22x+2x=−2x−122+14，
所以当 2x=12，
即 x=−1 时，gx 取得最大值 14，
所以 t≥14，故 t 的取值范围为 14,+∞．
（2） 由题意知 fx=lgaa2x+t 在 m,n 上是单调增函数，
所以 fm=m,fn=n,
即 a2m+t=am,a2m+t=am,
问题等价于关于 k 的方程 a2k−ak+t=0 有两个不相等的实根，
令 ak=u>0，则问题等价于关于 u 的二次方程 u2−u+t=0 在 u∈0,+∞ 上有两个不相等的实根，
即 u1+u2>0,u1⋅u2>0,Δ>0,
即 t>0,t<14,
得 0所以 t 的取值范围为 0,14．
29. fx−gx=1+lgx3−2lgx2=1+lgx34=lgx34x，
当 1所以 lgx34x<0；
当 x>43 时，34x>1，
所以 lgx34x>0．
综上当 1当 x>43 时，fx>gx．
30. （1） 因为函数 fx=ax+ba>0,a≠1 的图象经过 A0,2 和 B2,5，
所以 a0+b=1+b=2,a2+b=5, 得 b=1,a=2,
则 lgax （2） fx=2x+1，
当 x≤0 时，gx=fx−1=2x∈0,1，
当 x>0 时，gx=lg22x+13=x+13>13，
综上 gx>0，即函数 gx 的值域为 0,+∞．
31. （1） 当 m=1 时，fx=lg12x2−x−1，
由 x2−x−1>0，可得 x>1+52 或 x<1−52，
所以函数 fx 的定义域为 −∞,1−52∪1+52,+∞．
（2） 由于函数 fx 的值域为 R，设 zx=x2−mx−m，则 zx 能取遍所有的正数，
从而 Δ=m2+4m≥0，解得 m≥0 或 m≤−4，
即所求实数 m 的取值范围为 −∞,−4∪0,+∞．
（3） 令 ux=x2−mx−m，则 fu=lg12u，函数 y=lg12u 在区间 0,+∞ 上为减函数，
由复合函数的单调性，
当函数 ux 与 fu 的单调性相同时，原函数 fx=lg12x2−mx−m 在其定义域上单调递增，
当函数 ux 与 fu 的单调性相反时，原函数 fx=lg12x2−mx−m 在其定义域上单调递减，
因为函数 fx 在区间 −∞,1−3 上是增函数，
所以 ux=x2−mx−m 在区间 −∞,1−3 上为减函数，且 ux>0，
由题意得，m2≥1−3,1−32−m1−3−m>0, 解得 2−23≤m<2，
即所求实数 m 的取值范围为 2−23,2．