2022届高考大一轮复习知识点精练：幂函数及其性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：幂函数及其性质，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若幂函数 fx=2m2−6m+5x2m−3 没有零点，则 fx 的图象关于 对称．
A. 原点B. x 轴C. y 轴D. 没有

2. 比较 1.513.1，23.1，213.1 的大小关系是
A. 23.1<213.1<1.513.1B. 1.513.1<23.1<213.1C. 1.513.1<213.1<23.1D. 213.1<1.513.1<23.1

3. 当 x∈0,+∞ 时，幂函数 y=m2−m−1x−5m−3 为减函数，则实数 m 的值为
A. m=2B. m=−1
C. m=−1 或 m=2D. m≠1±52

4. 已知幂函数 fx=n2+4n−4xn2−3n，n∈Z 在 0,+∞ 上是减函数，则 n 的值为
A. 1B. 2C. −5D. 1 或 −5

5. 下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0 ， y>0 ，函数 fx 满足 fx+y=fxfy ”的是
A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 余弦函数

6. 已知幂函数 y=fx 的图象过点 8,22 ，则 f9 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 9

7. 已知对数函数 y=lgaxa>0,a≠1 的图象经过点 P3,−1，则幂函数 y=xa 的图象是
A. B.
C. D.

8. 在同一直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx 与幂函数 y=xbax>0 图象的关系可能为
A. B.
C. D.

9. 若 fx 是幂函数，且满足 f4f2=4，则 f12=
A. −4B. 4C. −12D. 14

10. 已知幂函数 y=xm2−2m−3m∈Z 的图象与 x 轴和 y 轴没有交点，且关于 y 轴对称，则 m 等于
A. 1B. 0，2C. −1，1，3D. 0，1，2

11. 在同一直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx 幂函数 y=xbax>0 图象的关系可能为
A. B.
C. D.

12. 已知函数 fx 既是二次函数又是幂函数，函数 gx 是 R 上的奇函数，函数 hx=gxfx+1+1，则
h2018+h2017+h2016+⋯+h1+h0+h−1+⋯+h−2016+h−2017+h−2018=
A. 0B. 1C. 4036D. 4037

13. 已知幂函数 fx=xα（α 为常数）的图象过点 P2,12，则 fx 的单调递减区间是
A. −∞,0B. −∞,+∞
C. −∞,0∪0,+∞D. −∞,0,0,+∞

14. 若幂函数 y=xm 是偶函数，且 x∈0,+∞ 时单调递减，则实数 m 的值可能为
A. −2B. 12C. −12D. 2

15. 若幂函数 y=fx 的图象经过点 2,8，则满足 fx=27 的 x 为
A. 3B. 13C. 27D. 127

16. 下列函数既是偶函数又是幂函数的是
A. y=xB. y=x23C. y=x12D. y=∣x∣

17. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,+∞ 上单调递增的是
A. y=sinxB. y=x3C. y=2−xD. y=ln∣x∣

18. 已知函数 fx=m2−m−1xm2+m−1 是幂函数，且在区间 0,+∞ 上为增函数．若 a，b∈R，且 a+b>0，ab<0，则 fa+fb 的值
A. 恒等于 0B. 恒小于 0C. 恒大于 0D. 无法判断

19. 已知幂函数 fx=m−12xm2−4m+2 在 0,+∞ 上单调递增，函数 gx=2x−k，当 x∈1,2 时，记 fx，gx 的值域分别为集合 A，B，若 A∪B=A，则实数 k 的取值范围是
A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,1

20. 给出幂函数：① fx=x；② fx=x2；③ fx=x3；④ fx=x；⑤ fx=1x．其中满足条件 fx1+x22>fx1+fx22x1>x2>0 的函数的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知幂函数 y=fx 的图象过点 4,12，则 fx= ．

22. 幂函数 fx=xm2−5m+4m∈Z 为偶函数且在区间 0,+∞ 上单调递减，则 m= ，f12= ．

23. 设 k∈−2,−1,13,23,2，若 x∈−1,0∪0,1，且 xk>∣x∣，则 k 取值的集合是 .

24. 已知 a∈−2,−1,13,23,43,2，当 x∈−1,0∪0,1 时，不等式 xa>∣x∣ 恒成立，则满足条件的 a 形成的集合为 ．

25. 已知 y=fx 是奇函数，定义域为 −1,1，当 x>0 时，fx=∣122x−1−xα∣−1α>0,α∈Q，当函数 gx=fx−t 有 3 个零点时，则实数 t 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 比较下列各组数的大小：
（1）−2−3，−2.5−3；
（2）−8−78，−1978；
（3）4.125，3.8−25，−1.935；

27. 已知幂函数 fx=m−12xm2−4m+2 在区间 0,+∞ 上单调递增，函数 gx=2x−k．
（1）求 m 的值；
（2）当 x∈1,2 时，记 fx，gx 的值域分别为集合 A，B，设 p:x∈A，q:x∈B，若 p 是 q 成立的必要条数，求实数 k 的取值范围．

28. 已知幂函数 fx=m2−2m−2xm2−4m+2 在区间 0,+∞ 上单调递减．
（1）求 m 的值，并写出 fx 的解析式；
（2）试判断是否存在 a>0，使得函数 gx=2a−1x−afx+1 在区间 −1,2 上的值域为 −4,11?若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．

29. 已知点 2,2 在幂函数 y=fx 的图象上．
（1）求 fx 的表达式；
（2）设 gx=fx−x−2，求函数 y=gx 的零点，推出函数 y=gx 的另一个性质（只要求写出结果，不要求证明），并画出函数 y=gx 的简图．

30. 若点 2,2 在幂函数 fx 的图象上，点 2,12 在幂函数 gx 的图象上，定义 hx=fx,fx≤gxgx,fx>gx，求函数 hx 的最大值以及单调区间．

31. 设幂函数 y=xa2−3a 在区间 0,+∞ 内是减函数，指数函数 y=a2−1x 在区间 −∞,+∞ 内是增函数，对数函数 y=lga2−2a+1x 在区间 0,+∞ 内是减函数，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】由 y=2x 为增函数可得，
23.1>213.1，
由幂函数的性质可得，
1.513.1<213.1，
所以 1.513.1<213.1<23.1．
3. A【解析】由题意可得 −5m−3<0,m2−m−1=1, 解得 m=2．
4. A
5. C
6. B【解析】设幂函数 fx=xa，
因为幂函数 y=fx 的图象经过点 8,22，
所以 f8=8a=22，
解得 a=12，
所以 fx=x12，
所以 f9=912=3．
7. D【解析】因为对数函数 y=lgax（a>0，a≠1）的图象经过点 P3,−1，
所以 −1=lga3，
所以 a=13，
故幂函数 y=xa=3x，它的图象如图D所示．
8. A
9. D【解析】设 fx=xα，则 f4=4a=22α，f2=2α．
因为 f4f2=22α2α=2α=4=22，
所以 α=2，
所以 fx=x2，
所以 f12=122=14．
10. C
11. A【解析】A选项：二次函数 y=ax2+bx 开口向上，
则 a>0，其对称轴为 x=−b2a>0，
幂函数 y=xba 中，ba<0，为减函数，符合题意，故A正确；
B选项：二次函数 y=ax2+bx 开口向下，
则 a<0，其对称轴为 x=−b2a>0，
幂函数 y=xba 中，ba<0，为减函数，不符合题意，故B错误；
C选项：二次函数 y=ax2+bx 开口向上，
则 a>0，其对称轴为 x=−b2a=−1，
幂函数 y=xba 中，ba=2，为增函数，
且其增加越来越快，不符合题意，故C错误；
D选项：二次函数 y=ax2+bx 开口向下，
则 a<0，其对称轴为 x=−b2a>−12，
幂函数 y=xba 中，0且其增加越来越慢，不符合题意，故D错误．
12. D【解析】因为函数 fx 既是二次函数又是幂函数，所以 fx=x2，
所以 fx+1 为偶函数．又因为函数 gx 是 R 上的奇函数，
所以 mx=gxfx+1 为 R 上的奇函数，所以
hx+h−x=gxfx+1+1+g−xf−x+1+1=gxfx+1+−gxfx+1+2=2,
所以
h2018+h2017+h2016+⋯+h1+h0+h−1+⋯+h−2016+h−2017+h−2018=h2018+h−2018+h2017+h−2017+h2016+h−2016+⋯+h1+h−1+h0=2+2+2+⋯+2+1=2×2018+1=4037.
13. D【解析】由题意得 2α=12，则 α=−1，则 fx=x−1，所以函数 fx 的单调递减区间是 −∞,0,0,+∞．故选D．
14. A【解析】结合选项，若 y=xm 是偶函数，则 m 的值可能为 −2 或 2，
因为当 x∈0,+∞ 时，y=xm 单调递减，
所以 m=−2 符合题意．
15. A
【解析】设 fx=xa，则 f2=2a=8，则 a=3，由 fx=x3=27，得 x=3．
16. B【解析】对于A，函数是奇函数，不合题意；
对于B，函数既是偶函数又是幂函数，符合题意；
对于C，函数不是偶函数，不合题意；
对于D，函数不是幂函数，不合题意．
故选B．
17. B【解析】A选项：设 fx=sinx，
则 f−x=sin−x=−sinx=−fx，
即函数 y=sinx 为奇函数，
由三角函数性质可知，函数 y=sinx 在 0,+∞ 上不是单调函数．
故A错误；
B选项：设 gx=x3，
则 g−x=−x3=−x3=−gx，
即函数 y=x3 为奇函数，
由 yʹ=3x2≥0 恒成立可知：
函数 y=x3 在 0,+∞ 上单调递增．
故B正确；
C选项：由指数函数性质可知：函数 y=2−x 是非奇非偶函数．
故C错误；
D选项：设 hx=ln∣x∣，
则 h−x=ln∣−x∣=ln∣x∣=hx，
即函数 y=ln∣x∣ 为偶函数，
故D错误．
故选B．
18. C【解析】函数 fx=m2−m−1xm2+m−1 是幂函数，则 m2−m−1=1，解得 m=2 或 m=−1．当 m=−1 时，fx=x−1，在 0,+∞ 上为减函数，排除；当 m=2 时，fx=x5，在 0,+∞ 上为增函数，满足题意，所以 fx=x5，函数 fx 为奇函数，故在 R 上单调递增．a+b>0，故 a>−b，fa>f−b=−fb，故 fa+fb>0．
19. D【解析】因为 fx 是幂函数，
所以 m−12=1，
解得 m=2 或 m=0．
若 m=2，则 fx=x−2 在 0,+∞ 上单调递减，不满足条件．
若 m=0，则 fx=x2 在 0,+∞ 上单调递增，满足条件，即 fx=x2．
当 x∈1,2 时，fx∈1,4，即 A∈1,4；
当 x∈1,2 时，gx=2−k,4−k，即 B=2−k,4−k．
因为 A∪B=A，
所以 B⊆A，
所以 2−k≥1 且 4−k≤4，解得 0≤k≤1．
20. A
第二部分
21. x−12
22. 2 或 3，4
【解析】幂函数 y=xm2−5m+4 为偶函数，且在 0,+∞ 递减，
所以 m2−5m+4<0，且 m2−5m+4 是偶数，
由 m2−5m+4<0 得 1又由题设 m 是整数，故 m 的值可能为 2 或 3，
验证知 m=2 或者 3 时，都能保证 m2−5m+4 是偶数，
故 m=2 或 3，此时 fx=x−2，则 f12=4．
23. −2,23
24. −2,23
25. −1,−12∪0∪12,1
第三部分
26. （1） 因为幂函数 y=x−3 在区间 −∞,0 上为减函数，且 −2>−2.5，
所以 −2−3<−2.5−3．
（2） 因为幂函数 y=x78 在区间 0,+∞ 上为增函数，且 −8−78=−1878，18>19，
所以 1878>1978，
从而 −1878<−1978，
即 −8−78<−1978．
（3） 因为 4.125>125=1，0<3.8−25<1−25=1，−1.935<0，
所以 4.125>3.8−25>−1.935．
27. （1） 依题意得
m−12=1,
解得
m=0或m=2,
当 m=2 时，fx=x−2 在区间 0,+∞ 上单调递减，与题设矛盾，舍去，
当 m=0 时，fx=x2，满足题意，
所以 m=0．
（2） 由（1）得 fx=x2，当 x∈1,2 时，fx∈1,4，即 A=1,4，当 x∈1,2 时，gx∈2−k,4−k，即 B=2−k,4−k，
若 p 是 q 成立的必要条件，则 B⊆A，则 2−k≥1,4−k≤4,
即 k≤1,k≥0,
解得 0≤k≤1．
即 k 的取值范围是 0,1．
28. （1） 因为幂函数 fx=m2−2m−2xm2−4m+2 在区间 0,+∞ 上单调递减，
所以 m2−2m−2=1,m2−4m+2<0,
解得 m=3 或 m=−1舍去，
所以 fx=x−1．
（2） 由（1）得 fx=x−1，
所以 gx=a−1x+1，
假设存在 a>0 使得命题成立，
则当 a−1>0，即 a>1 时，gx 在区间 −1,2 上单调递增，
所以 g−1=−4,g2=11, 即 1−a+1=−4,2a−2+1=11, 解得 a=6，
当 a−1=0，即 a=1，gx=1 显然不成立；
当 a−1<0，即 a<1，gx 在区间 −1,2 上单调递减，
所以 g−1=11,g2=−4, 即 1−a+1=11,2a−2+1=−4, a 无解．
综上所述，存在 a=6 使命题成立．
29. （1） 因为 fx 为幂函数，
所以设 fx=xa，
又 2,2 在 fx 的图象上，
所以 2a=2⇒a=2，
所以 fx=x2．
（2） 由（1）知 fx=x2，
故 gx=x2−1x2，
令 gx=0，解得 x=1 或 x=−1，
故函数 y=gx 的零点为 ±1；
gx=x2−1x2，故其定义域为 −∞,0∪0,+∞，值域为 R，
又 g−x=−x2−1−x2=x2−1x2=gx，
故 gx 为偶函数，
根据单调性的性质可知 gx 在 0,+∞ 上单调递增，在 −∞,0 上单调递减；
（以上性质任选其一即可）．
函数 y=gx 的图象如图：
30. 设 fx=xα，
因为点 2,2 在幂函数 fx 的图象上，
所以 2α=2，解得 α=2，
所以 fx=x2．
设 gx=xβ，
因为点 2,12 在幂函数 gx 的图象上，
所以 2β=12，解得 β=−1，
所以 gx=x−1．
在同一坐标系中画出函数 fx=x2 和 gx=x−1 的图象（图略），
由题意及图，可知 hx=x−1,x<0或x>1x2,0作出函数 hx 的图象如图所示，
可知函数 hx 的最大值为 1，
hx 的单调递增区间是 0,1，单调递减区间是 −∞,0 和 1,+∞．
31. 因为幂函数 y=xa2−3a 在区间 0,+∞ 内是减函数，
所以 a2−3a<0. ⋯⋯①
又 y=a2−1x 在区间 −∞,+∞ 内是增函数，
所以 a2−1>1，即 a2>2. ⋯⋯②
因为 y=lga2−2a+1x 在区间 0,+∞ 内是减函数，
所以 0解①②③，得 2