2021年北京丰台区东高地外国语学校八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区东高地外国语学校八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 方程 x2+x−6=0 的两个根为
A. x1=3，x2=−2B. x1=−3，x2=2C. x1=6，x2=−1D. x1=−6，x2=1

3. 下列各图象中，y 不是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

4. 甲，乙两人在 2020 年上半年每月电费支出情况的统计图如图所示，则他们在 2020 年上半年月电费支出的方差 S甲2 和 S乙2 的大小关系是
A. S甲2S乙2D. 无法确定

5. 已知关于 y 的方程 2y+my−3=0 有一个根是 −52，那么 m 的值等于
A. −5B. 5C. 25D. 52

6. 在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中， 11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

7. 下列命题正确的是
A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形

8. 在龙舟比赛中，甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程 ym 与时间 xmin 之间的函数关系的图象如图所示，则下列说法中错误的是
A. 1.7 min 时，甲龙舟队处于领先位置
B. 这次龙舟赛中，乙龙舟队先到达终点
C. 2 min 后，乙龙舟队的速度比甲龙舟队快 90 m/min
D. 自 2 min 开始，甲龙舟队若要与乙龙舟队同时到达终点，其速度需要提高到 255 m/min

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 2，则点 P 的坐标为 ．

10. 五边形的内角和是 ∘．

11. 将代数式 x2+6x+7 进行如下变形：x2+6x+7=x2+2⋅x⋅3+9−9+7=x+32−2，当 x 的值为 时，x+32 的最小值为 0，即 x+32−2 的最小值为 −2，从而代数式 x2+6x+7 的最小值为 ．

12. 甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图所示，则当甲加工了这种产品 70 件时，乙加工了 件．

13. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2k−1x+k2−1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．

14. 全班共有 40 名学生，他们上学有的步行，有的骑车，有的乘车，其中乘车的百分比为 40%，则乘车的人数为 ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 OABC 的三个顶点 O0,0，A3,0，B4,2，则其第四个顶点是 ．

16. 如图所示，在菱形纸片 ABCD 中，AB=4，∠BAD=60∘，按如下步骤折叠该菱形纸片：
第一步：如图①，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 的对应点 Aʹ 恰好落在边 CD 上，折痕 EF 分别与边 AD，AB 交于点 E，F，折痕 EF 与对应点 A，Aʹ 的连线交于点 G．
第二步：如图②，再将四边形纸片 BCAʹF 折叠使点 C 的对应点 Cʹ 恰好落在 AʹF 上，折痕 MN 分别交边 CD，BC 于点 M，N．
第三步：展开菱形纸片 ABCD，连接 GCʹ，则 GCʹ 最小值是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 已知一次函数的图象过点 3,−5 与点 −4,9，求这个一次函数的解析式．

18. 已知：如图 1，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 的中点，求证：EB=DF．

19. 解方程：x2−4x+1=0．

20. 今年 5 月 15 日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校 1200 名学生中随机抽取 100 名学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分均为整数），并根据这 100 人的测试成绩，制作了如下统计图表．
100 名学生知识测试成绩的频数表
成绩a分频数人50≤a<601060≤a<701570≤a<80m80≤a<904090≤a≤10015
100 名学生知识测试成绩的频数直方图
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m= ，并补全频数直方图．
（2）小明在这次测试中成绩为 85 分，你认为 85 分一定是这 100 名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由．
（3）如果 80 分以上（包括 80 分）为优秀，请估计全校 1200 名学生中成绩优秀的人数．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 DE=CF，BE 和 AF 的交点为 M，CE 和 DF 的交点为 N，求证：MN=12BC，MN∥BC．

22. 如果一元二次方程的两根都为整数，且其中一根是另一根的整数倍，我们称该方程为倍根方程．例如 x2−2x−3=0 的两根为 x1=3，x2=−1，因为 x1 是 x2 的 −3 倍，所以 x2−2x−3=0 是倍根方程．
（1）说明 x2+3x−18=0 是倍根方程；
（2）若存在正整数 m，使得关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2m=0 有实数根，求 m 的值．

23. 有这样一个问题：
探究函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）填表
x⋯−10123456⋯y⋯32−1−1⋯
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象；
（3）结合函数图象，请写出该函数的一条性质．

24. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，CE∥BD 交 AD 的延长线于点 E，CE=AC．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AB=4，AD=3，求四边形 BCED 的周长．

25. 今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球 2017 年单价为 200 元，2019 年单价为 162 元．
（1）求 2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在标价 162 元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠?
A 商店：买十送一；
B 商店：全场九折．

26. 小明对学校添置的一批课桌、凳子进行观察后，发现它们可以根据人的身高来调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳子相对应的四档高度，得到如下数据：
（1）小明经过对数据的探究发现：桌高 ycm 是凳高 xcm 的一次函数，请你求出这个一次函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77 cm，凳子的高度为 43.5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由．

27. 如图（1），已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE，GC．
（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图（2），连接 AE 和 GC，你认为（1）中的结论是否还成立?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 A，点 C 为某个菱形的一组对角的顶点，且点 A，C 在直线 y=x 上，那么称该菱形为点 A，C 的“极好菱形”．下图为点 A，C 的“极好菱形”的一个示意图．已知点 M 的坐标为 1,1，点 P 的坐标为 3,3．
（1）点 E2,4，F1,3，G4,0，H3,2 中，能够成为点 M，P 的“极好菱形”的顶点的是 ；
（2）如果四边形 MNPQ 是点 M，P 的“极好菱形”．
①当点 N 的坐标为 52,32 时，求四边形 MNPQ 的面积；
②当四边形 MNPQ 的面积为 12，且与直线 y=x+b 有公共点时，求出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】选项B，C，D中的图形都是中心对称图形，
选项A中的图形是轴对称图形，而不是中心对称图形．
2. B
3. A
4. C【解析】观察题图可知，甲 2020 年上半年每月电费支出波动比较大，
所以 S甲2>S乙2．
5. B
6. B
7. C【解析】选项A 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误；
选项B 两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
选项C 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
选项D 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误．
8. D【解析】由题中图象可知当 0甲龙舟队用时 5 min，乙龙舟队用时 4.5 min，乙龙舟队先到，故选项B正确；
甲龙舟队的速度为 10505=210m/min，乙龙舟队在 2 min 后的速度为 1050−3004.5−2=300m/min，300−210=90m/min，故选项C正确；
当 x=2 min 时，y甲=210×2=420m，若与乙龙舟队同时到达终点，则速度应为 1050−4204.5−2=252m/min，故选项D错误．
第二部分
9. 2,−3
【解析】到 x 轴的距离表示的是点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离表示的是点的横坐标的绝对值，则点 P 的坐标为 2,−3．
10. 540
【解析】5−2⋅180∘=540∘．
11. −3，−2
12. 280
【解析】甲的工作效率为：50÷5=10 件/分，
乙的工作效率为：80÷2=40 件/分．
因此 40×70÷10=280 件．
13. k≤1
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2+2k−1x+k2−1=0 有实数根，
所以 Δ=2k−12−4k2−1=−8k+8≥0，解得 k≤1．
14. 16
15. 1,2
【解析】∵O0,0，A3,0，
∴OA=3，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA=3，
∵B4,2，
∴ 点 C 的坐标为 4−3,2，即 C1,2．
16. 3
【解析】如图，作 GH⊥AB 于 H，DR⊥AB 于 R，GP⊥AʹF 于 P，AʹQ⊥AB 于 Q．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DA=AB=BC=CD=4，AB∥CD，
∴AʹQ=DR，
∵∠BAD=60∘，
∴AʹQ=DR=32AD=23，
∵Aʹ 与 A 关于 EF 对称，
∴EF 垂直平分 AAʹ，
∴AG=AʹG，∠AFE=∠AʹFE，
∴GP=GH，
又 ∵GH⊥AB，AʹQ⊥AB
∴GH∥AʹB，
∴GH=12AʹQ=12DR=3，
∴GCʹ≥GP=3，当且仅当 Cʹ 与 P 重合时，GCʹ 取得最小值 3．
第三部分
17. 设其解析式为 y=kx+b．
代入 3,−5，−4,9，得 −5=3k+b,9=−4k+b,
解得 k=−2,b=1.
这次函数的解析式为 y=−2x+1．
18. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵ED=12AD，BF=12BC．
∴ED∥BF，ED=BF．
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．
∴EB=DF．
19. 方法一：
移项得：
x2−4x=−1,
配方得：
x2−4x+4=−1+4,
即：
x−22=3,
开方得：
x−2=±3,
所以原方程的解是：
x1=2+3,x2=2−3.
【解析】方法二：
x2−4x+1=0．
因为 a=1，b=−4，c=1，
所以 b2−4ac=−42−4×1×1=12．
所以
x=−b±b2−4ac2a=4±122=4±232=2±3.
所以原方程的解是 x1=2+3，x2=2−3．
20. （1） 20；
补全频数直方图如下：
【解析】m=100−10−15−40−15=20（人）．
（2） 不一定是，理由：将 100 名学生知识测试成绩从小到大排列，第 50 名与第 51 名的成绩都在分数段 80≤a<90 中，但它们的平均数不一定是 85 分．
（3） 40+15100×1200=660（人）．
答：全校 1200 名学生中，成绩优秀的约有 660 人．
21. 连接 EF，
∵DE=CF，DE∥CF，
∴AE=BF，AE∥BF，
∴ 四边形 DEFC 和四边形 ABFE 都是平行四边形，
∴BM=EM，CN=EN，
∴MN=12BC，MN∥BC．
22. （1） 解方程 x2+3x−18=0 得 x1=3，x2=−6，
∵−6 是 3 的 −2 倍，
∴x2+3x−18=0 是倍根方程．
（2） ∵x2−3x+2m=0 有实数根，
∴Δ=−32−4×1×2m=9−8m≥0，
解得 m≤98，
∵m 是正整数，
∴m=1．
23. （1） 填表如下：
x⋯−10123456⋯y⋯3210−1−1−1−1⋯
（2） 根据（1）中的结果作图如下：
（3） 根据（2）中的图象，不等式 ∣x−3∣−x+1>0 成立的 x 的取值范围是 x<2．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴ 四边形 BCED 是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
（2） ∵AB=4，AD=3，∠DAB=90∘，
∴BD=AB2+AD2=42+32=5．
∵ 四边形 BCED 是平行四边形，
∴ 四边形 BCED 的周长为 2BC+BD=2×3+5=16．
25. （1） 设平均每年降低的百分率为 x，根据题意列方程，得
2001−x2=162.
解得
x1=0.1,x2=
不合题意，舍去．
答：2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低 10%．
（2） A 商店：162×91=14742；
B 商店：162×0.9×100=14580．
去 B 商店买足球更优惠．
26. （1） 设所求一次函数的解析式为 y=kx+b（k，b 为常数，k=0），任取题表中的两组数据，不妨取 37.0,70.0 和 42.0,78.0，分别代入 y=kx+b，得 70=37k+b,78=42k+b, 解得 k=1.6,b=10.8,
∴ 所求一次函数的解析式为 y=1.6x+10.8．
（2） 不配套．理由如下：
当 x=43.5 时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．
77≠80.4，
∴ 不配套．
27. （1） AE⊥GC．证明如下：
如图（1），延长 GC 交 AE 于点 H，
在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90∘，DE=DG，
所以 △ADE≌△CDGSAS．
所以 ∠1=∠2．
因为 ∠2+∠3=90∘，
所以 ∠1+∠3=90∘．
所以 ∠AHG=180∘−∠1+∠3=180∘−90∘=90∘
所以 AE⊥GC．
（2） 结论仍成立．证明如下：
如图（2），延长 AE，GC，相交于点 H，
在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，
AD=DC，DE=DG，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90∘，
所以 ∠1=∠2=90∘−∠3．
所以 △ADE≌△CDGSAS，
所以 ∠5=∠4．
因为 ∠5+∠6=90∘，∠4+∠7=180∘−∠DCE=180∘−90∘=90∘，
所以 ∠6=∠7．
又 ∠6+∠AEB=90∘，∠AEB=∠CEH，
所以 ∠CEH+∠7=90∘，
所以 ∠EHC=90∘，
所以 AE⊥GC．
28. （1） F，G
（2） ① ∵ 四边形 MNPQ 是菱形，
∴S四边形MNPQ=2⋅22÷2=2．
②如图，
∵ 点 M 的坐标为 1,1，点 P 的坐标为 3,3，
∴PM=22，可得 Q−1,5，N5,−1，
当直线 y=x+b 经过点 Q−1,5 时，b=6，
当 y=x+b 经过时 N5,−1 时，b=−6，
∴ 当四边形 MNPQ 与直线 y=x+b 有公共点时，b 的取值范围是 −6≤b≤6．