2021年北京西城区北京八中（百万庄校区）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区北京八中（百万庄校区）八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 原子是化学反应中不可再分的基本微粒，由原子核和电子组成．某原子的直径约为 0.000000000196 m，可用科学记数法表示为
A. 1.96×1010 mB. 19.6×1011 mC. 19.6×10−11 mD. 1.96×10−10 m

3. 用以下各组线段为边，可以组成三角形的是
A. 2 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，5 cm，7 cm
C. 2 cm，5 cm，8 cmD. 4 cm，5 cm，8 cm

4. 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 k，b 的符号是
A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<0

5. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

6. 下列运算中，正确的是
A. 1−x−y=−1x−yB. 3x+y2x+y=32
C. x2+y2x+y=x+yD. y−xx2−y2=−1x+y

7. 按下列给定的条件画一个三角形，若图形唯一，则所给条件不可能是
A. 两边一夹角B. 两角一夹边C. 三边D. 三角

8. 如图，等边 △ABC 的边长为 4，AD 是边 BC 上的中线，F 是边 AD 上的动点，E 是边 AC 上一点，若 AE=2，则 EF+CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为
A. 45∘B. 30∘C. 22.5∘D. 15∘

9. 某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了 30 千米/小时，则该列车行驶 350 千米所用的时间比原来少用 1 小时，若该列车提速前的速度是 x 千米/小时，下列所列方程正确的是
A. 350x−350x−30=1B. 350x−350x+30=1
C. 350x+30−350x=1D. 350x−30−350x=1

10. 在 1∼7 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是
A. 1 月份B. 2 月份C. 5 月份D. 7 月份

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 当 x= 时，分式 x2−9x+2 的值是 0．

12. π−3.140−12−2= ．

13. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，AB=10，S△ABD=15，则 CD 的长为 ．

14. 在平面直角坐标系中，点 A3,−1，B3,−7 是一对关于某直线 l 对称的对称点，则点 C−2,−13 关于直线 l 的对称点的坐标为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，AC=5，BC=8，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，那么 △ADC 的周长为 ．

16. 计算：−a−2b2= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 因式分解
（1）5mx2−10mxy+5my2
（2）a3a−2+b2−3a

18. 计算：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2．

19. 解分式方程：4x2−1+1=x−1x+1．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 在边 AB 上，使 DB=BC，过点 D 作 EF⊥AC，分别交 AC 于点 E 、 CB 的延长线于点 F．求证：AB=BF．

21. 如图，在直角坐标系中，A−1,5，B−1,0，C−4,3．
（1）AB= ；点 C 到 AB 的距离 = ；
（2）求 △ABC 的面积．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=BC，△ABC 所在的平面上有一点 P（如图中所画的点 P1），使 △PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 P 有几个（包括点 P1）?在图中画出来．

23. 学校美术社团为学生外出写生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 AB 和 CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 36 cm，由以上信息能求出 CB 的长度吗?如果能，请求出 CB 的长度；如果不能，请说明理由．

24. 已知一次函数 y1=a−1x−2a+1，其中 a≠1．
（1）若点 1,−12 在 y1 的图象上，求 a 的值；
（2）当 −2≤x≤3 时，若函数有最大值 2，求 y1 的函数表达式．
（3）对于一次函数 y2=m+1x−1+2，其中 m≠−1，若对一切实数 x，y1
25. 如图，△ABC 和 △ADC 都是等边三角形．
（1）AB 与 CD 是否平行?为什么?
（2）连接 BD，BD 与 AC 是否垂直?为什么?

26. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，BE 平分 ∠ABD 交 AC 于点 E．
（1）求证：CB=CE；
（2）若 ∠CEB=80∘，求 ∠DBC 的大小．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】绝对值小于 1 的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．所以 0.000000000196=1.96×10−10．
3. D
4. D
5. C
6. D【解析】A、 1−x−y=1−x+y=−1x+y，故本选项不符合题意；
B、 3x+y2x+y=32，3x+y2x+y≠32，故本选项不符合题意；
C、 x+y2x+y=x+y，x2+y2x+y≠x+y，故本选项不符合题意；
D、 y−xx2−y2=−x−yx+yx−y=−1x+y，故本选项符合题意．
7. D
8. B【解析】过 E 作 EM∥BC，交 AD 于 N，如图，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD 是 BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E 和 M 关于 AD 对称，
连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，
则此时 EF+CF 的值最小，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30∘，
故选B．
9. B【解析】原来走 350 千米所用的时间为 350x，现在走 350 千米所用的时间为：350x+30，
所以可列方程为：350x−350x+30=1．
10. C
第二部分
11. ±3
12. −3
【解析】原式 =1−4=−3
13. 3
【解析】如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．
∵∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，
∴CD=DE；
∵S△ABD=12AB⋅DE=15，且 AB=10，
∴DE=3，CD=DE=3．
14. −2,5
15. 13
16. a2+4ab+4b2
第三部分
17. （1） 原式=5mx2−2xy+y2=5mx−y2；
（2） 原式=3a−2a−b．
18. 原式=1−x−yx+2y⋅x+2y2x+yx−y=1−x+2yx+y=−yx+y.
19. 去分母，得
4+x2−1=x2−2x+1.
移项，合并同类项，得
2x=−2.
系数化为 1，得
x=−1.
经检验 x=−1 是增根，
∴ 原分式方程无解．
20. ∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90∘．
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，
∴∠A=∠F．
∵DB=BC，∠FBD=∠ABC，
∴△FBD≌△ABC．
∴AB=BF．
21. （1） 5；3
（2） S△ABC=12×5×3=7.5
22. 如图，
在 △ABC 的边 BC 的中垂线上有 P1，P2，P3 和 P4 四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点 P1，
所以满足条件的点 P 共有 4×3−2=10 个．（画出了部分图形）
23. 能求出 CB 的长度．
∵O 是 AB，CD 的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在 △AOD 和 △BOC 中，
OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC，
∵AD=36 cm，
∴CB=36 cm．
24. （1） 把 1,−12 代入 y1=a−1x−2a+1 得 a−1−2a+1=−12，
∴a=12．
（2） 当 a−1>0，即 a>1 时，则 x=3 时，y=2，
把 3,2 代入 y1=a−1x−2a+1 得 3a−1−2a+1=2，
解得 a=4，
此时一次函数解析式为 y1=3x−7；
当 a−1<0，即 a<1 时，
则 x=−2 时，y=2，
把 −2,2 代入 y1=a−1x−2a+1 得 −2a−1−2a+1=2，
解得 a=14，
此时一次函数解析式为 y1=−34x+12．
（3） y2=m+1x−1+2=m+1x−m+1，
∵ 对一切实数 x，y1 ∴a−1=m+1 且 −2a+1<−m+1 ，
∴a=m+2 且 a>−2 且 a≠1．
25. （1） AB∥CD．
因为 ∠BAC=∠ACD=60∘．
（2） AC⊥BD．
因为 AB=AD，∠BAC=∠DAC．
26. （1） 因为 BD⊥AC，
所以 ∠CDB=90∘，
所以 ∠DBC+∠C=90∘，
因为 ∠ABC=90∘，
所以 ∠A+∠C=90∘，
所以 ∠A=∠DBC，
因为 BE 平分 ∠ABD，
所以 ∠ABE=∠DBE，
因为 ∠CBE=∠CBD+∠DBE，∠CEB=∠A+∠ABE，
所以 ∠CBE=∠CEB，
所以 CB=CE．
（2） 因为 ∠CEB=∠CBE=80∘，
所以 ∠C=180∘−2×80∘=20∘，
因为 ∠CDB=90∘，
所以 ∠DBC=90∘−20∘=70∘．