2019-2020学年北京市西城区七上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市西城区七上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −4 的倒数是
A. 14B. −14C. 4D. −4

2. 在国庆 70 周年的联欢活动中，参与表演的 3290 名群众演员，每人手持一个长和宽都为 80 厘米的光影屏，每一块光影屏上都有 1024 颗灯珠，约 3369000 颗灯珠共同构成流光溢彩的巨幅光影图案，给观众带来了震撼的视觉效果．将 3369000 用科学记数法表示应为
A. 0.3369×107B. 3.369×106C. 3.369×105D. 3369×103

3. 下列计算中正确的是
A. 5a+6b=11abB. 9a−a=8C. a2+3a=4a3D. 3ab+4ab=7ab

4. 如图，点 A，B 在直线 l 上，点 C 是直线 l 外一点，可知 CA+CB>AB，其依据是
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，直线最短D. 直线比线段长

5. 下列解方程的步骤中正确的是
A. 由 x−5=7，可得 x=7−5
B. 由 8−23x+1=x，可得 8−6x−2=x
C. 由 16x=−1，可得 x=−16
D. 由 x−12=x4−3，可得 2x−1=x−3

6. 已知 3a2−a=1，则代数式 6a2−2a−5 的值为
A. −3B. −4C. −5D. −7

7. 有理数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
① a>3；② ab>0；③ b+c<0；④ b−a>0．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④

8. 下列说法中正确的是
A. 如果 ∣x∣=7，那么 x 一定是 7
B. −a 表示的数一定是负数
C. 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线
D. 一个锐角的补角比这个角的余角大 90∘

9. 下列图形中，可能是下面正方体的展开图的是
A. B.
C. D.

10. 居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．据统计，从 2018 年 9 月到 2019 年 8 月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率如下图所示：
根据上图提供的信息，下列推断中不合理的是
A. 2018 年 12 月的增长率为 0.0%，说明与 2018 年 11 月相比，全国居民消费价格保持不变
B. 2018 年 11 月与 2018 年 10 月相比，全国居民消费价格降低 0.3%
C. 2018 年 9 月到 2019 年 8 月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率中最小的是 −0.4%
D. 2019 年 1 月到 2019 年 8 月，全国居民消费价格每月比上个月的增长率一直持续变大

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 右图所示的网格是正方形网格，∠ABC ∠DEF．（填“>”，“=”或“<”）

12. 用四舍五入法将 0.0586 精确到千分位，所得到的近似数为 ．

13. 已知 x=3 是关于 x 的一元一次方程 ax+b=0 的解，请写出一组满足条件的 a，b 的值：a= ，b= ．

14. 若 x+12+y−2020=0，则 xy= ．

15. 《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”．《九章算术》大约成书于公元前 200 年 ∼ 公元前 50 年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章．
《九章算术》中有这样一个问题：
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何?
其大意是，假设合伙买金，每人出 400 钱，还剩余 3400 钱；每人出 300 钱，还剩余 100 钱．问人数、金价各是多少?如果设有 x 个人，那么可以列方程为 ．

16. 我们把 cbd 称为二阶行列式，且 cbd=ad−bc，如：23−4=1×−4−3×2=−10．
（1）计算：6−35= ．
（2）若 72m=6，则 m 的值为 ．

17. 已知线段 AB 如图所示，延长 AB 至 C，使 BC=AB，反向延长 AB 至 D，使 AD=13BC，点 E 是线段 CD 的中点．
（1）依题意补全图形．
（2）若 AB 的长为 30，则 BE 的长为 ．

18. 一件商品的包装盒是一个长方体（如图 1），它的宽和高相等、小明将四个这样的包装盒放入一个长方体大纸箱中，从上面看所得图形如图 2 所示，大纸箱底面长方形未被覆盖的部分用阴影表示．接着小明将这四个包装盒又换了一种摆放方式，从上面看所得图形如图 3 所示，大纸箱底面未被覆盖的部分也用阴影表示，设图 1 中商品包装盒的宽为 a，则商品包装盒的长为 ，图 2 中阴影部分的周长与图 3 中阴影部分的周长的差为 ．（都用含 a 的式子表示）

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：
（1）−5+12−−8−21．
（2）14×−16÷−135．

20. 计算：
（1）134−78+712×−87．
（2）−32−−0.75×83−19×−4．

21. 先化简，再求值：6y3+4x3−2xy−23y3−xy，其中 x=−2，y=3．

22. 解方程：3x+25=1+2x−13．

23. 解方程组：4x+3y=6,2x−y=8.

24. 已知，如图，O 是直线 AB 上一点，OD 是 ∠AOC 的平分线，∠COD 与 ∠COE 互余．
求证：∠AOE 与 ∠COE 互补．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：
∵O 是直线 AB 上一点，
∴∠AOB=180∘．
∵∠COD 与 ∠COE 互余，
∴∠COD+∠COE=90∘．
∴∠AOD+∠BOE= ∘．
∵OD 是 ∠AOC 的平分线，
∴∠AOD=∠ ．（理由： ）
∴∠BOE=∠COE，（理由： ）
∵∠AOE+∠BOE=180∘，
∴∠AOE+∠COE=180∘．
∴∠AOE 与 ∠COE 互补．

25. 某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在 4×4 的正方形网格中，黑色正方形表示数字 1，白色正方形表示数字 0．如图 1 是某个学生的身份识别图案．约定如下：把第 i 行，第 j 列表示的数字记为 aij（其中 i,j=1,2,3,4），如图 1 中第 2 行第 1 列的数字 a21=0；对第 i 行使用公式 Ai=8ai1+4ai2+2ai3+ai4 进行计算，所得结果 A1 表示所在年级，A2 表示所在班级，A3 表示学号的十位数字，A4 表示学号的个位数字．如图 1 中，第二行 A2=8×0+4×1+2×0+1=5，说明这个学生在 5 班．
（1）图 1 代表的学生所在年级是 年级，他的学号是 ．
（2）请仿照图 1，在图 2 中画出八年级 4 班学号是 36 的同学的身份识别图案．

26. 学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买 5 个篮球和 10 个足球需花费 1150 元，若买 9 个篮球和 6 个足球需花费 1170 元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元?
（2）实际购买时，正逢该商店进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和足球，怡好花费 1760 元，请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少．

27. 点 O 为数轴的原点，点 A，B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为 5，线段 AB 的长为线段 OA 长的 1.2 倍，点 C 在数轴上，M 为线段 OC 的中点．
（1）点 B 表示的数为 ．
（2）若线段 BM 的长为 4.5，则线段 AC 的长为 ．
（3）若线段 AC 的长为 x，求线段 BM 的长（用含 x 的式子表示）．

四、填空题（共1小题；共5分）
28. 观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：
1=12，
2+3+4=32，
3+4+5+6+7=52，
4+5+6+7+8+9+10=k2，
⋯⋯
（1）第 4 个等式中，k= ．
（2）写出第 5 个等式： ．
（3）写出第 n 个等式： （其中 n 为正整数）．

五、解答题（共2小题；共26分）
29. 我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几）演变而来．到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”．而到了清代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形和平行四边形，能拼出更加生动，多样图案的七巧板就问世了（如图 1 网格中所示）．
（1）若正方形网格的边长为 1，则图 1 中七巧板的七块拼板的总面积为 ．
（2）使用图 1 中的七巧板可以拼出一个轮廓如图 2 所示的长方形，请在图 2 中画出拼图方法．（要求：画出各块拼板的轮廓）
（3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板．如图 3 所示的是另一种七巧板．利用图 3 中的七巧板可以拼出一个轮廓如图 4 所示的图形：大正方形的中间去掉一个小正方形．请在图 4 中画出拼图方法．（要求：画出各块拼板的轮廓）

30. 对于平面内给定射线 OA，射线 OB 及 ∠MON，给出如下定义：若由射线 OA，OB 组成的 ∠AOB 的平分线 OT 落在 ∠MON 的内部或边 OM，ON 上，则称射线 OA 与射线 OB 关于 ∠MON 内含对称．例如，图 1 中射线 OA 与射线 OB 关于 ∠MON 内含对称．已知：如图 2，在平面内，∠AOM=10∘，∠MON=20∘．
（1）若有两条射线 OB1，OB2 的位置如图 3 所示，且 ∠B1OM=30∘，∠B2OM=15∘，则在这两条射线中，与射线 OA 关于 ∠MON 内含对称的射线是 ．
（2）射线 OC 是平面上绕点 O 旋转的一条动射线，若射线 OA 与射线 OC 关于 ∠MON 内含对称，设 ∠COM=x∘，求 x 的取值范围．
（3）如图 4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH=20∘，现将射线 OH 绕点 O 以每秒 1∘ 的速度顺时针旋转，同时将射线 OE 和 OF 绕点 O 都以每秒 3∘ 的速度顺时针旋转．设旋转的时间 t 秒，且 0答案
第一部分
1. B【解析】−4 的倒数是 −14．
2. B【解析】3369000=3.369×106．
3. D
4. A【解析】CA+CB 为 A 与 B 之间的折线距离，
AB 为 A 与 B 之间的直线距离，
∵ 两点之间线段最短，
∴AB5. B
6. A【解析】6a2−2a−5=23a2−a−5，
∵3a2−a=1，
∴原式=2×1−5=−3．
7. C【解析】① ∵−3 ∴a<3，故①不正确．
② ∵a<0，b<0，
∴ab>0，故②正确．
③ ∵−2 ∴1④ ∵a<−2，b>−2，
∴b−a>0，故④不正确．
故正确的有②④．
8. D
9. C【解析】根据对面来看，含点的面与空白面是对面，故排除选项B，
选项A中，含有阴影的小正方形在右上角，故排除选项A，
选项D中，三角形的阴影部分错误，故排除选项D，
正方体的展开图的是
10. D
第二部分
11. >
【解析】由图可知，∠ABC=45∘，
∠DEF<45∘，
∴∠ABC>∠DEF．
12. 0.059
【解析】0.0586 精确到千分位，万分位为 6，故向上一位进 1，
∴0.0586≈0.059．
13. 1，−3
【解析】x=3 是 ax+b=0 的解，
∴3a+b=0
∴b=−3a．
故 a，b 满足 b=−3a 即可，
例 a=1，b=−3，a=2，b=−6，
∵ax+b=0 为一元一次方程，
∴a≠0．
∴a 取任意非零实数．
14. 1
【解析】∵x+12+y−2020=0，
x+12≥0，y−2020≥0，
∴x+12=0，y−2020=0，
∴x+1=0，y−2020=0，
∴x=−1，y=2020，
∴xy=−12020=1．
15. 400x−3400=300x−100
【解析】每人出 400 钱，总钱数为 400x，买金花 400x−3400．
每人出 300 钱，总钱数为 300x，买金花 300x−100．
∴400x−3400=300x−100．
16. 28，−5
【解析】（1）
6−35=2×5−−3×6=10−−18=10+18=28.
（2）72m=6，
∴−4m−2×7=6，−4m−14=6，
−4m=6+14，−4m=20，m=−5．
17. ，5
【解析】∵AB=30，BC=AB，
∴BC=AB=30，
∵AD=13BC，
∴AD=13×30=10，
∴CD=AD+AB+BC=10+30+30=70，
∵E 为 CD 中点，
∴CE=12CD=12×70=35，
∴BE=CE−BC=35−30=5．
18. 2a，2a
【解析】由图 3 可知，包装盒的长是宽的 2 倍．
故包装盒的长为 2a，长方体大纸箱的长为 4a．
由图 2 可知，方体大纸箱的宽为 3a．
∴ 图 2 阴影部分的周长为 3a+4a−2a×2+a×2+2a+3a−2a=12a．
∴ 图 3 阴影部分的周长为 3a−2a×2+4a×2=10a．
∴ 图 2 阴影部分的周长与图 3 阴影部分的周长的差为 12a−10a=2a．
故答案为 2a，2a．
第三部分
19. （1） −5+12−−8−21=−5+12+8−21=−26+20=−6.
（2） 14×−16÷−135=14×16÷85=14×16×58=52.
20. （1） 134−78+712×−87=74−78+712×−87=−2+1−23=−123.
（2） −32−−0.75×83−19×−4=9+2−19×−4=−8×−4=32.
21. 6y3+4x3−2xy−23y3−xy=6y3+4x3−8xy−6y3+2xy=4x3−6xy.
当 x=−2，y=3 时，
原式=4×−23−6×−2×3=4.
22.
3x+25=1+2x−13.
去分母，得
33x+2=15+52x−1.
去括号，得
9x+6=15+10x−5.
移项，得
9x−10x=15−5−6.
合并，得
−x=4.
系数化为 1，得
x=−4.
23.
4x+3y=6, ⋯⋯①2x−y=8. ⋯⋯②
由②得
y=2x−8. ⋯⋯③
把③代入①，得
4x+32x−8=6.
解得
x=3.
把 x=3 代入③，得
y=−2.∴
原方程组的解为
x=3,y=−2.
24. 90；COD；角平分线的定义；等角的余角相等
25. （1） 七；28
【解析】由图 1 可知，
A1=8a11+4a12+2a13+a14=8×0+4×1+2×1+1=7.
A3=8a31+4a32+2a33+a34=8×0+4×0+2×1+0=2.
A4=8a41+4a42+2a43+a44=8×1+4×0+2×0+0=8.
∴ 图 1 代表学生所在年级为七年级，序号是 28．
（2） 八年级 4 班学号 36 的同学，
则 A1=8，A2=4，A3=3，A4=6，
A1=8a11+4a12+2a13+a14=8，
则 a11=1，a12=0，a13=0，a14=0，
A2=8a21+4a22+2a23+a24=4，
则 a21=0，a22=1，a23=0，a34=0，
A3=8a31+4a32+2a33+a34=3，
则 a31=0，a32=0，a33=1，a34=1，
A4=8a41+4a42+2a43+a44=6，
则 a41=0，a42=1，a43=1，a44=0．
故可画图为：
26. （1） 设篮球单价为 x 元，足球单价为 y 元．
根据题意，得
5x+10y=1150,9x+6y=1170,
解得
x=80,y=75,
答：篮球单价为 80 元，足球单价为 75 元．
（2） 购买 5 个篮球，24 个足球，或购买 20 个篮球，8 个足球．
【解析】设购买了 a 个篮球，b 个足球，恰好花费 1760 元．
80a+75b×0.8=1760，
整理 80a+75b=2200，
16a+15b=440，
b=440−16a15，
b=29+13−1615a，
∵a，b 均为整数，
∴a=5 时，b=24，
a=20 时，b=8，
答：购买 5 个篮球，24 个足球，或购买 20 个篮球，8 个足球
27. （1） −1．
（2） 2 或 16．
（3） ①当点 C 在点 A 的右侧（或重合）时，如图 1，
点 C 表示的数为 5+x，
∵M 为线段 OC 的中点，
∴ 点 M 表示的数为 5+x2，
∴BM=5+x2−−1=7+x2；
②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为 5−x，
∴ 点 M 表示的数为 5−x2，
i）若点 M 在点 B 的右侧（或重合），如图 2，
则 BM=5−x2−−1=7−x2；
ii））若点 M 在点 B 的左侧，如图 3，
则 BM=−1−5−x2=x−72．
第四部分
28. 7，5+6+7+8+9+10+11+12+13=92，n+n+1+n+2+⋯+3n−2=2n−12
【解析】（1）4+5+6+7+8+9+10=4+10×72=72．
∴k=7．
（2）第 5 个等式为：
5+6+7+8+9+10+11+12+13=92．
（3）第 n 个等式为
n+n+1n+2+⋯+3n−2=n+3n−2⋅3n−2−n+12=2n−12.
∴n+n+1⋅n+2+⋯+3n−2=2n−12．
第五部分
29. （1） 8
【解析】图 1 中七巧板的七块拼板的总面积为 4×4÷2=8．
（2） 答案不唯一．如：
（3） 答案不唯一．如：
30. （1） OB2
【解析】由图可知 ∠AOB1 的角平分线一定落在 ∠MON 外面，
∴ 射线 OB1 与射线 OA 不关于 ∠MON 内含对称，
∵∠AOM=10∘，∠B2OM=15∘，
∴∠AOB2=25∘，
∴∠AOB2 的角平分线分得两角度数为 12.5∘<15∘，
∴∠AOB2 的角平分线落在 ∠MON 内，
∴ 射线 OB2 与射线 OA 关于 ∠MON 内含对称．
（2） 当 ∠AOC 的平分线与 OM 重合时，如图 1，
∵OM 平分 ∠AOC，
∴∠COM=∠AOM，
∵∠AOM=10∘，
∴∠COM=10∘，
当 ∠AOC 的平分线与 ON 重合时，如图 2，
∵ON 平分 ∠AOC，
∴∠CON=∠AON，
∵∠AON=∠AOM+∠MON=10∘+20∘=30∘，
∴∠CON=30∘，
∴∠COM=∠CON+∠MON=30+20∘=50∘，
∵ 射线 OA 与射线 OC 关于 ∠MON 内含对称，
∴x 的取值范围是 10≤x≤50．
（3） 20≤t≤32.5．
【解析】∵∠AOE=∠EOH=2∠FOH=20∘，
∠AOM=10∘，∠MON=20∘，
∴ 当 OH，OF，OE 顺时针旋转起来时，
∠HOF=3∘−1∘t+10∘=10∘+2t，
∠EOH=3∘−1∘t+20∘=20∘+2t，
∠MOH=10∘+20∘+20∘−t⋅1∘=50∘−t，
∠NOH=20∘+10∘+20∘+20∘−t⋅1∘=70∘−t，
则当 OM 为 ∠HOE 的角平分线时，20∘+2t=250∘−t，解得 t=20，
②当 ON 为 ∠FOH 的角平分线时，10∘+2t=270∘−t，解得 t=32.5，
综上所述，t 的取值范围为 20≤t≤32.5．