2021年北京西城区中国戏曲学院附属中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区中国戏曲学院附属中学八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 要使分式 1x+2 有意义，则 x 的取值应满足
A. x=−2B. x<−2C. x>−2D. x≠−2

2. 若分式 5a−b3a+2b 有意义，则 a，b 满足的关系是
A. 3a≠2bB. a≠15bC. b≠−23aD. a≠−23b

3. 下列图形中对称轴的条数最少的是
A. 正五边形B. 等边三角形
C. 正方形D. 长宽不等的长方形

4. 小明同学把一个含有 45∘ 角的 直角三角板放在如图所示的两条平行线 m，n 上，测得 ∠α=120∘，则 ∠β 的度数是
A. 45∘B. 55∘C. 65∘D. 75∘

5. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

6. 如图，若 △ABC≌△DEF，BC=7，EC=5，则 CF 的长为
A. 1B. 2C. 2.5D. 3

7. 如图，在数轴上表示实数 15 的点可能是
A. 点 PB. 点 QC. 点 MD. 点 N

8. 以下说法正确的是
A. 在同一年出生的 400 人中至少有两人的生日相同
B. 一个游戏的中奖率是 1%，买 100 张奖券，一定会中奖
C. 一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃 K，这是必然事件
D. 一个袋中装有 3 个红球、 5 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 35

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 2y1+y=2y2 .

10. 如果 a 的平方根是 ±3，那么 a= ．

11. 已知：x，y 均为正数，且满足 x23=y24，那么 x:y 的值为 ．

12. 请你写出一个介于 2 和 3 之间的无理数 ．

13. 在 △ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 上的中点，∠B=50∘，那么 ∠CAD= ．

14. 等腰三角形的腰长为 8，底边长为 6，则其底边上的高为 ．

15. 填空：a+bab= a2b．

16. 等腰三角形的一个外角为 150∘，则这个等腰三角形的底角为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 化简：4xx2−4−2x−2−1．
圆圆的解答如下：4xx2−4−2x−2−1=4x−2x+2−x2−4=−x2+2x
圆圆的解答正确吗?如果不正确，写出正确的答案．

18. 计算：212−13×6．

19. 解分式方程：1x=x2−x．

20. 解方程：x−2−x2=1−x−33．

21. 如图，已知 C 是线段 AB 的中点，CD∥BE，且 CD=BE．试说明 ∠D=∠E 的理由．

22. 先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷1+x2x−2x，其中 x=2+1．

23. 如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC 是等腰三角形．

24. 先化简，再求值：2aa2−4−1a−2÷aa2+4a+4，其中 a=−3．

25. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 3，22，5．

26. 如图，直线 EF,CD 相交于点 O，OA⊥OB，且 OC 平分 ∠AOF，
（1）若 ∠AOE=40∘，求 ∠BOD 的度数；
（2）若 ∠AOE=α，求 ∠BOD 的度数；（用含 α 的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出 ∠AOE 和 ∠BOD 有何关系?

27. 已知：线段 AB．
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l，与线段 AB 交于点 D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点 C 为 l 上一个动点（点 C 不与点 D 重合）连接 CB，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E．
①当垂足 E 在线段 BC 上时，直接写出 ∠ABC 度数的取值范围．
②请你画出一个垂足 E 在线段 BC 延长线上时的图形，并求证 ∠BAE=∠BCD．

28. 已知 △ABC 中，如果过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 △ABC 的关于点 B 的二分割线．例如：如图 1，Rt△ABC 中 ∠A=90∘，∠C=20∘，若过顶点 B 的一条直线 BD 交 AC 于点 D，若 ∠DBC=20∘，显然直线 BD 是 △ABC 的关于点 B 的二分割线．
（1）在图 2 的 △ABC 中，∠C=20∘，∠ABC=110∘，请在图 2 中画出 △ABC 关于点 B 的二分割线，且 ∠DBC 角度是 ．
（2）已知 ∠C=20∘，在图 3 中画出不同于图 1，图 2 的 △ABC，所画 △ABC 同时满足：
① ∠C 为最小角；
②存在关于点 B 的二分割线，∠BAC 的度数是 ．
（3）已知 ∠C=a，△ABC 同时满足：
① ∠C 为最小角；
②存在关于点 B 的二分割线，请求出 ∠BAC 的度数（用 α 表示）．
答案
第一部分
1. D【解析】由分式 1x+2 有意义，得 x+2≠0，解得 x≠−2．
2. D
3. D
4. D
5. C
6. B【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，又 BC=7，
∴EF=7，
∵EC=5，
∴CF=EF−EC=7−5=2．
故选：B．
7. C【解析】∵9<15<16，
∴3<15<4，
∴15 对应的点是 M．
8. A【解析】A．一年中有 365 天，因而在同一年出生的 400 人中至少有两人的生日相同，故A选项正确；
B．一个游戏的中奖率是 1%，买 100 张奖券，不一定会中奖，故B选项错误；
C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃 K，这是随机事件，故C选项错误；
D．一个袋中装有 3 个红球、 5 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 38，故D选项错误．
第二部分
9. y+y2
10. 3
11. 3:2
12. 5（答案不唯一）
13. 40∘
14. 55
【解析】如图．
在 △ABC 中，AB=AC=8，AD⊥BC，
则 AD 为 BC 边上的中线，即 D 为 BC 中点，
∴BD=DC=3，
在直角 △ABD 中，AD=AB2−BD2=64−9=55．
15. a2+ab
16. 30∘ 或 75∘
第三部分
17. 圆圆的解答错误，正确解法：
4xx2−4−2x−2−1=4xx−2x+2−2x+2x−2x+2−x−2x+2x−2x+2=4x−2x−4−x2+4x−2x+2=2x−x2x−2x+2=−xx+2.
18. 原式=212×6−13×6=122−2=112.
19. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．
整理，得 x2+x−2=0．
解得 x1=1，x2=−2．
把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，
把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．
所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．
20. x=1811．
21. ∵C 是 AB 的中点（已知），
∴AC=CB（线段中点的定义），
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等），
在 △ACD 和 △CBE 中，
AC=CB,∠ACD=∠B,CD=BE.
∴△ACD≌△CBESAS．
∴∠D=∠E（全等三角形的对应角相等）．
22. 原式=x+12xx+1÷1+x2−2x2x=x+12xx+1⋅x1+x1−x=11−x,
当 x=2+1 时，
原式=11−2−1=−22．
23. ∵AE∥BC，
∴∠2=∠C，
∠1=∠B．
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC 是等腰三角形．
24. 原式=2aa+2a−2−1a−2÷aa+22=a−2a+2a−2⋅a+22a=a+2a.
当 a=−3 时，原式=−3+2−3=13．
25. 由于 222=8=22+22，因此可以构造一个两直角边长均为 2 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 22．要构造一条长度为 5 的线段，可构造一个直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示，△ABC 即为所求作的三角形．
26. （1） 因为 ∠AOE+∠AOF=180∘，∠AOE=40∘，
所以 ∠AOF=140∘．
又 OC 平分 ∠AOF，
所以 ∠AOC=12∠AOF=70∘．
所以 ∠BOD=180∘−∠AOC−∠AOB=180∘−70∘−90∘=20∘．
（2） 因为 ∠AOE+∠AOF=180∘，∠AOE=α，
所以 ∠AOF=180∘−α．
又因为 OC 平分 ∠AOF，
所以 ∠AOC=12∠AOF=90∘−12α .
所以 ∠BOD=180∘−∠AOC−∠AOB=180∘−90∘−12α−90∘=12α．
（3） 从（1）（2）的结果中能看出 ∠AOE=2∠BOD．
27. （1） 如图所示：l 即为所求作的直线．
（2） ① 45∘≤∠ABC<90∘．
②如图．
因为线段 AB 的垂直平分线为 l，
所以 CD⊥AB．
因为 AE⊥BE，
所以 ∠AEB=∠BDC=90∘，
所以 ∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90∘，
所以 ∠BAE=∠BCD．
【解析】①连接 AC 当 ∠ACB≤90∘ 时，垂足 E 在线段 BC 上．
因为 CD 垂直平分 AB，
所以 CA=CB，
所以 ∠BAC=∠ABC．
因为 2∠ABC+∠ACB=180∘，
所以 2∠ABC≥90∘，
所以 ∠ABC≥45∘．
因为 ∠ABC 为锐角，
所以 45∘≤∠ABC<90∘．
28. （1） 如图所示：20∘，
（2） 如图所示：
35∘
【解析】∠BAC 的度数是 35∘．
（3） 如图，若 ∠ABC 是最大角时，△DBC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，
∵DB=DC，
∴∠C=∠DBC=α，
∴∠ADB=2α，且 ∠ABD=90∘，
∴∠BAC=90∘−2α，
如图，△ABD 是等腰三角形，△DBC 是直角三角形，
∵∠BDC=90∘−α，且 AD=BD，
∴∠BAC=∠DBA=45∘−α2，
若 ∠BAC 是 =90∘，满足题意，
故 ∠BAC=90∘或90∘−2α或45∘−α2．