2018-2019学年北京市西城区北京师大附中九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市西城区北京师大附中九上期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 3a=4b，则 ab 的值为
A. 34B. 43C. 37D. 73

2. 抛物线 y=−x−12+3 的顶点坐标是
A. 1,3B. −1,3C. −1,−3D. 1,−3

3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DE∥BC，AD=1，BD=2，那么 AEAC 的值为
A. 1:2B. 2:3C. 1:4D. 1:3

4. 将抛物线 y=−3x2 平移，得到抛物线 y=−3x−12−2，下列平移方式中，正确的是
A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位

5. 三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示．若 OA=20 cm，OAʹ=50 cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是
A. 5:2B. 2:5C. 4:25D. 25:4

6. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B，C，则对系数 a 和 b 判断正确的是
A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a>0，b<0D. a<0，b>0

8. 如图，在 △ABC 中，∠A=78∘，AB=4，AC=6，将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

9. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网 +”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称 DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天 24 个时段的 DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的 DEA 值 y 与时刻 t 的关系近似满足函数关系 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a≠0），如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻 t 是
A. 4.8B. 5C. 5.2D. 5.5

10. 函数 y=ax2+bx+c 与 y=kx 的图象如图所示，有以下结论：
① b2−4ac>0；
② a+b+c+1>0；
③ 9a+3b+c+6>0；
④当 1其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 已知 4x=7y，则 x−yy= ．

12. 点 Ax1,y1，Bx2,y2 在二次函数 y=x2−2x−1 的图象上，若 x2>x1>1，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1 y2．（用“>”、“<”、“=”填空）

13. 老师给出一个二次函数，甲、乙两位同学分别指出函数的一个性质：
甲：函数图象顶点在 y 轴上；
乙：函数有最大值．
老师说两位同学说的都准确，请你根据上述性质写出一个符合条件的二次函数的表达式 ．

14. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2 m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时竹竿与这一点相距 6 m，与树相距 15 m，则树的高度为 m．

15. 如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点 A1,0，B3,2，不等式 x2+bx+c
16. 如图，△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上一点，连接 DE，请你添加一个条件，使 △ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）．

17. 若抛物线 y=x2−4x+m 与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围为 ．

18. 函数 y=x2−2x+4 沿直线 y=1 翻折所得函数解析式为 ．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 DEBC= ，若 S△DEF=1，则 S△BCF= ．

20. 如图，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，A−4,0，B−2,0，定义：若某个抛物线上存在一点 P，使得点 P 到正方形 ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形 ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线 y=2x2−nx−n2−1 是正方形 ABCD 的“友好抛物线”，则 n 的值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
21. 小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．
已知：如图，在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，∠A=∠Aʹ，∠B=∠Bʹ．求证：△ABC∽△AʹBʹCʹ．
证明：在线段 AʹBʹ 上截取 AʹD=AB，过点 D 作 DE∥BʹCʹ，交 AʹCʹ 于点 E．
由此得到 △AʹDE∽△AʹBʹCʹ．
∴ ∠AʹDE=∠Bʹ．
∵ ∠B=∠Bʹ，
∴ ∠AʹDE=∠B，
在 △AʹDE 和 △ABC 中，
∠AʹDE=∠B,AʹD=AB,∠Aʹ=∠A,
∴ △AʹDE≌△ABC．
∴ △ABC∽△AʹBʹCʹ．
小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：
（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作 △AʹDE 与 ；
（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作 △AʹDE 与 ；
（3）最后，可证得 △ABC∽△AʹBʹCʹ．

22. 如图，在 △ABC 中，D 是 AB 上一点，连接 CD，且 ∠ACD=∠ABC．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若 AD=6，AB=10，求 AC 的长．

23. 如图，点 A 的坐标为 3,2，点 B 的坐标为 3,0，作如下操作：
①以点 A 为旋转中心，将 △ABO 顺时针方向旋转 90∘，得到 △AB1O1；
②以点 O 为位似中心，将 △ABO 放大，得到 △A2B2O，使相似比为 1:2，且点 A2 在第三象限．
（1）在图中画出 △AB1O1 和 △A2B2O；
（2）请直接写出点 A2 的坐标： ．

24. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面 AB 宽 40 米，抛物线最高点 C 到水面 AB 的距离为 10 米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米的点 E，F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离 EF．（结果保留根号）

25. 如表是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分 x，y 的对应值：
x⋯−1−120121322523⋯y⋯m14−1−74−2−74−1142⋯
（1）求函数解析式；
（2）当 x>0 时，y 的取值范围是 ；
（3）当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时，n 的取值范围是 ．

26. 已知，如图 △ABC 中，AB=4，BC=8，D 为 BC 边上的一点，BD=2．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若 DE∥AB 交 AC 于点 E，请你补全图形，再找出一个和 △ABD 相似的三角形，并计算 DE 的长．

27. 如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AB 上一动点（不与点 B 重合），过点 E 作 EF⊥DE 交 BC 于点 F，连接 DF．已知 AB=4 cm，AD=2 cm，设 A，E 两点间的距离为 x cm，△DEF 面积为 y cm2．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量 x 的取值范围是 ．
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
⋯⋯
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当 △DEF 面积最大时，AE 的长度为 cm．

28. 抛物线 C1:y=ax2+bx−3，以 x=1 为对称轴，图象经过 A−1,0．
（1）求抛物线 C1 的解析式；
（2）将抛物线 C1 在 y 轴左侧的图象沿 y 轴翻折，并将翻折至 y 轴右侧的部分图象称作图形 G．若直线 y=5 与抛物线 C1 交于点 Px1,5 和 Qx2,5，与图形 G 交于点 Mx3,5，且 x1①求 x2−x3 的值；
②当抛物线 C1 沿 x 轴向右平移 n 个单位 n>0，请结合图象，确定 3≤x2−x3≤5 时，求 n 的取值范围．

29. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，给出如下定义：记点 P 到 x 轴的距离为 d1，到 y 轴的距离为 d2，若 d1≤d2，则称 d1 为点 P 的“引力值”；若 d1>d2，则称 d2 为点 P 的“引力值”．特别地，若点 P 在坐标轴上，则点 P 的“引力值”为 0．
例如，点 P−2,3 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，因为 2<3，所以点 P 的“引力值”为 2．
（1）①点 A1,−4 的“引力值”为 ；
②若点 Ba,3 的“引力值”为 2，则 a 的值为 ；
（2）若点 C 在直线 y=−2x+4 上，且点 C 的“引力值”为 2，求点 C 的坐标；
（3）已知点 M 是以 D3,4 为圆心，半径为 2 的圆上的一个动点，那么点 M 的“引力值”d 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. D
5. B
6. A
7. A
8. C
9. C
10. C
第二部分
11. −37
12. <
【解析】∵y=x2−2x−1=x−12−2，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x=1，
∵x2>x1>1，
∴y113. y=−x2（答案不唯一，只要满足 a<0，b=0 即可）
14. 163
15. 116. ∠ADE=∠C（或 ∠AED=∠B，ADAC=AEAB）
17. m≤4
18. y=−x−12−1
19. 12，4
20. 6 或 −3
第三部分
21. （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△AʹBʹCʹ 相似
（2）△ABC 全等
22. （1） 证明略．
（2） AC=215．
23. （1） 如图所示．
（2） −6,−4
24. EF=85 m．
25. （1） y=x−12−2．
（2） y≥−2
（3） n>−3
26. （1） 证明略．
（2） DE=1.5．
27. （1） 0≤x≤4
（2） 3.8；4
（3）
（4） 0，2
28. （1） y=x2−2x−3．
（2） ① x2−x3=2；
② 12≤n≤32．
29. （1） 1；±2
（2） 点 C 的坐标：−2,8 或 3,−2．
（3） 1≤d≤7+72