2021年北京海淀区北京医学院附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北京医学院附属中学九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是( )
A. ADDB=AEECB. ADDB=DEBCC. ADAB=AEACD. ADAB=DEBC

2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点 2,1，则 tanα 的值是
A. 55B. 5C. 12D. 2

3. 小莉家附近有一公共汽车站，大约每隔 30 分钟准有一趟车经过.则"小莉在到达该车站后 10 分钟内可坐上车"这一事件的概率是
A. 14B. 13C. 34D. 12

4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 反比例函数 y=2x 的图象位于
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限

6. 已知：如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AD 是 ⊙O 的直径， ∠ABC=30∘ ，则 ∠CAD 等于 ．
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

7. 如图，已知 △ABC∽△DEF，AB∶DE=1:2，则下列等式一定成立的是
A. BCDF=12B. ∠A的度数∠D的度数=12
C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=12

8. 下面有 4 个汽车标致图案，其中是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 如图，扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1，则这个圆锥的底面半径为 ．
A. 12B. 22C. 2D. 22

10. 如图，反比例函数 y=kxk≠0 第一象限内的图象经过 △ABC 的顶点 A，C，AB=AC，且 BC⊥y 轴，点 A，C 的横坐标分别为 1，3，若 ∠BAC=120∘，则 k 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式 ．

12. 在 ⊙O 中，弦 AB=8 cm，弦心距 OC=3 cm，则该圆的半径为 cm．

13. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是 ．

14. 若正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y=k2x 的图象都经过点 2,3，则 k1x=k2x 的解是 ．

15. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 ．

16. 如图，三角形 ABC 是边长为 1 的正三角形，弧 AB 与弧 AC 所对的圆心角均为 120∘ ，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12 可表示为 12=sin30∘=cs60∘=tan45∘⋅sin30∘=⋯．
仿照上述材料，完成下列问题
（1）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比或其组合表示 32，即：
填空：32= = = =⋯；
（2）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式．要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比、上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于 1．即：
填空：1= ．

18. 如图，在 △ABC 中，AH⊥BC 于 H，CF⊥AB 于 F，D 是 AB 上一点，AD=AH，DE∥BC，求证：DE=CF．

19. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M1,2．
（1）以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC 的位似图形 △AʹBʹCʹ；
（2）写出 △AʹBʹCʹ 的各顶点坐标．

20. 已知 y=y1−y2，y1 与 x 成反比例，y2 与 x−2 成正比例，并且当 x=3 时，y=5；当 x=1 时，y=−1．求 y 与 x 之间的函数关系式．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P，连接 PC，BC．
（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC 是 ⊙O 的切线．

22. 已知 y 与 x−1 成反比例，且当 x=−3 时，y=4．
（1）求 y 与 x 的函数关系式．
（2）求当 x=9 时，y 的值．

23. 亲爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有 A,B,C 三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片 A 两面均为红，卡片 B 两面均为绿，卡片 C 一面为红，一面为绿．
（1）从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为 0 ?
（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些?请你列出表格，用概率的知识予以说明．

24. 如图，已知 AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

25. 已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，E 是 ⊙O 外一点，过点 E 作 AB 的垂线 ED，交 BA 的延长线于点 D，EA 的延长线与 ⊙O 交于点 C，DC=DE．
（1）求证：DC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 sin∠ACD=55，⊙O 的半径为 5，求 AE 的长．

26. 如图所示，已知 ∠ABC=∠CDB=90∘，AC=a，BC=b，当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB?

27. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

28. 如图，BE，CF 是 △ABC 的高，D 是 BC 边的中点，求证：DE=DF．

29. 如图，直线 y=−x+3 与抛物线 y=−x2+2x+3 交于点 A0,3，B3,0．
（1）点 F 是线段 AB 上的点，FE⊥x 轴，E 在抛物线上，若点 F 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 EF 的长；
（2）求 EF 的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到ADAB=DEBC=AEAC；证明ADDB=AEEC≠DEBC，即可解决问题．
【解析】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC≠DEBC，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．
2. C
3. B
4. B
5. B
6. D
7. B【解析】根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，BC 与 DF 不是对应边，排除A选项；对应角相等，排除B选项；面积比等于相似比的平方，排除C选项；周长比等于相似比，则D选项正确．
8. C
9. B【解析】OB=22，
l=90π×22180=2πr，
r=22．
10. C
【解析】过点 A 作 AD⊥BC，
∵ 点 A，点 C 的横坐标分别为 1，3，且 A，C 均在反比例函数 y=kxk≠0 第一象限内的图象上，
∴A1,k，C3,k3，
∵AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥BC，
∴∠ACD=30∘，∠ADC=90∘，
∴DC=3AD，
即 2=3k−k3，
解得 k=3．
第二部分
11. y=1x
12. 5
13. 316
14. 2 或 −2
【解析】两个函数 k2x 的图象都经过点 2,3，即 k1x=k2x 的一个解为 x1=2，
根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为 x2=−2，
故答案为 2 或 −2．
15. π2
【解析】S侧=12×l底圆×R=12×π×1=π2．
16. 312
第三部分
17. （1） sin60∘；cs30∘；tan45∘⋅sin60∘ 等
（2） tan45∘+sin30∘⋅ct45∘−cs60∘÷tan45∘=1 等
18. ∵AH⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AHB=∠CFB=90∘，
∵∠ABH=∠CBF，
∴△ABH∽△CBF，
∴AH:AB=CF:BC，
∵AD=AH，
∴AD:AB=CF:BC，
∵DE∥BC，
∴AD:AB=DE:BC，
∴DE:BC=CF:BC，
∴DE=CF．
19. （1）
如图，△AʹBʹCʹ 即为所求．
（2） △AʹBʹCʹ 的各顶点坐标分别为 Aʹ3,6，Bʹ5,2，Cʹ11,4．
20. 设 y1=k1x，y2=k2x−2，
所以 y=k1x−k2x−2，
由 k13−k2=5,k1+k2=−1,
解得 k1=3,k2=−4.
所以 y=3x+4x−2．
21. （1） 猜想：OD∥BC，CD=12BC．证明如下：
∵OD⊥AC，
∴AD=DC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴OA=OB．
∴OD 是 △ABC 的中位线，
∴OD∥BC，CD=12BC．
（2）
如图，连接 OC，设 OP 与 ⊙O 交于点 E．
∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，
∴AE=CE，即 ∠AOE=∠COE．
在 △OAP 和 △OCP 中，
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP．
∵PA 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAP=90∘．
∴∠OCP=90∘，即 OC⊥PC，
∴PC 是 ⊙O 的切线．
22. （1） 设 y=kx−1，
因为当 x=−3 时，y=4，
所以有 4=k−3−1，
解得 k=−16，
所以 y=−16x−1．
（2） 当 x=9 时，y=−169−1=−2．
23. （1） 依题意可知：抽出卡片 A 的概率为 0 ；
（2） 由（1）知，一定不会抽出卡片 A ，只会抽出卡片 B 或 C ，且抽出的卡片朝上的一面是绿色，那么可列下表：
朝上B(绿1)B(绿2)C(绿)朝下B(绿2)B(绿1)C(红)

可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即： P （绿） =23 ，P（红） =13 ，
所以猜绿色正确率可能高一些．
24. ∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即 ∠DAB=∠EAC．
∴△DAB∽△EAC．
25. （1）
连接 OC．
∵DE=DC，
∴∠4=∠E．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
∵∠2=∠3，
则 ∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90∘，
∴DC 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠4=∠E，
∴sin∠E=55．
设 AD=k，
则 AE=5k，ED=2k，
∴DC=2k．
在 Rt△OCD 中，由勾股定理得：OD2=DC2+OC2，
∴5+k2=2k2+52，
∴k=0（舍），k=253，
∴AE=5k=103．
26. ∵∠ABC=∠CDB=90∘，
∴ 当 ACBC=BCBD 时，△ABC∽△CDB．
即当 ab=bBD 时，△ABC∽△CDB．
∴BD=b2a．
27.
如图所示，过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∵∠CAB=120∘，
∴∠CAD=60∘．
∵cs∠CAD=ADAC，
∴AD=AC⋅cs∠CAD=30×cs60∘=15m，
∴CD=AC2−AD2=302−152=153m，
∴BD=BC2−CD2=702−1532=65m，
∴AB=BD−AD=65−15=50m．
答：A 、 B 两个凉亭之间的距离为 50 m．
28. 因为 BE，CF 是 △ABC 的高，
所以 △BCE 和 △BCF 都是直角三角形．
因为 D 是 BC 的中点，
所以 DE，DF 分别是 Rt△BCE，Rt△BCF 的斜边 BC 上的中线，
所以 DE=12BC，DF=12BC，
所以 DE=DF．
29. （1） ∵E 点坐标为 m,−m2+2m+3，
F 点坐标为 m,−m+3，
∴EF=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m．
（2） EF=−m2+3m=−m−322+94，
当 m=32 时，EF 取最大值，为 94．