2021年北京海淀区科技大学附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区科技大学附属中学九年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若 5:x=3:2，则 x 的值是
A. 152B. 215C. 310D. 103

2. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是
A. ABAE=AGADB. DFCF=DGADC. FGAC=EGBDD. AEBE=CFDF

3. 在正方形网格中，∠α 的位置如图所示，则 tanα 的值是
A. 33B. 53C. 12D. 2

4. tan45∘ 的值是
A. 1B. 12C. 22D. 3

5. 若点 2,5，4,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=2C. 直线 x=3D. 直线 x=4

6. 如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点，连接 PO 交 ⊙O 于点 B，PA=4，PB=2，则 sin∠APO 值为
A. 35B. 45C. 34D. 43

7. 关于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 函数图象分别位于第一、第三象限
B. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小
C. 若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1y2
D. 函数图象经过点 1,2

8. 如图，以 1,−4 为顶点的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的正数解的范围是
A. 2
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 解直角三角形的概念：
由已知的元素，求出直角三角形其他所有边和角的过程叫 ．

10. 使式子 x−1x+2 有意义的 x 的取值范围是 ．

11. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

12. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，∠AOC=120∘，则 ∠CDB= ∘．

13. 如图，在 △MBN 中，已知 BM=8，BN=9，MN=12，点 A，C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长是 ．

14. 已知抛物线经过 A0,−3，B2,−3，C4,5，判断点 D−2,5 是否在该抛物线上．你的结论是： ．（填“是”或“否”）．

15. 已知等腰三角形的一个内角为 70∘，则它的顶角为 度．

16. 若正比例函数 y=k1xk1≠0 和反比例函数 y=k2xk2≠0 的图象的一个交点为 3,5，则另一个交点为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上，且 A−3,0，B2,b，求正方形 ABCD 的面积．

18. 计算：2sin45∘+−2−8+π−30．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当 AC=8，BC=6 时，求 DE 的长．

20. 已知抛物线 y=−x2+4x+5．
（1）求抛物线与 y 轴交点的坐标．
（2）求抛物线的对称轴．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AC 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E．
（1）若 ∠A=40∘，求 ∠DCB 的度数．
（2）若 AE=5，△DCB 的周长为 16，求 △ABC 的周长．

22. 在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点 C，测得树的顶端 A 的仰角为 30∘，在 C，B 间选择一点 D（C，D，B 三点在同一直线上），测得树的顶端 A 的仰角为 75∘，CD 间距离为 20 m，求这棵树 AB 的高度（结果保留根号）．

23. 如图，在 ⊙O 中，半径 OC⊥AB 于点 D，连接 OA，若 DC=2，AB=8，求 ⊙O 的半径．

24. 已知一次函数 y=m−1x+m−2 与反比例函数 y=kxk≠0．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点 Am,−1，求 m 与 k 的值．
（2）已知点 Bx1,y1，Cx2,y2 在该一次函数图象上，设 k=x1−x2y1−y2，判断反比例函数 y=kx 的图象所在的象限，说明理由．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=4 cm，BC=5 cm．P 是 AB 上的动点，设 A，P 两点间的距离为 x cm，B，P 两点间的距离为 y1 cm，C，P 两点间的距离为 y2 cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，点 x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，
①当 △PBC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm；
②记 AB 所在圆的圆心为点 O，当直线 PC 恰好经过点 O 时，PC 的长度约为 cm．

26. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AC=6，BC=10，过点 A 作直线 l∥BC．
（1）求 AB 的长；
（2）作 ∠ABC 的平分线 BE 交直线 l 于点 E，作 ∠ACB 的平分线 CD 交直线 l 于点 D；（要求尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
（3）求 DE 的长．

27. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 1,0 和 0,1．求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标．

28. 已知：如图 1，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 B 的坐标是 6,4．
（1）直接写出 A 点坐标（ ， ），C 点坐标（ ， ）．
（2）如图 2，D 为 OC 中点，连接 BD，AD，如果在第二象限内有一点 Pm,1，且四边形 OADP 的面积是 △ABD 面积的 2 倍，求满足条件的点 P 的坐标．
（3）如图 3，动点 M 从点 C 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 运动，同时动点 N 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 AO 运动，当 N 到达 O 点时，M，N 同时停止运动，运动时间是 t 秒 t>0，在 M，N 运动过程中，当 MN=5 时，直接写出时间 t 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】由比例的基本性质，得 3x=10，解得 x=103．
2. D
3. D
4. A
5. C
6. A
7. C【解析】反比例函数 y=2x，k=2>0，
A、函数图象分别位于第一、三象限，正确；
B、当 k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，正确；
C、若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1D、函数图象经过点 1,2，正确；
故选：C．
8. C【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点为 1,−4，
∴ 对称轴为直线 x=1，
而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围是 −3 ∴ 右侧交点横坐标的取值范围是 4第二部分
9. 解直角三角形
10. x≠−2
11. y=−8x
12. 30
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠BOC=180∘−∠AOC=180∘−120∘=60∘，
∴∠CDB=12∠BOC=30∘．
13. 17
14. 是
15. 40 或 70
【解析】本题可分两种情况：
①当 70∘ 角为底角时，顶角为 180∘−2×70∘=40∘；
② 70∘ 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 40∘ 或 70∘．
故答案为：40 或 70．
16. −3,−5
第三部分
17. 作 BM⊥x 轴于 M．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90∘，
∴∠DAO+∠BAM=90∘，∠BAM+ABM=90∘，
∴∠DAO=∠ABM，
∵∠AOD=∠AMB=90∘，
∴△DAO≌△ABM，
∴OA=BM，AM=OD．
∵A−3,0，B2,b，
∴OA=3，OM=2，
∴OD=AM=5，
∴AD=OA2+OD2=32+52=34，
∴ 正方形 ABCD 的面积 =34．
18. 原式=2×22+2−22+1=1.
19. （1） ∵DE 垂直平分线段 AB，
∴∠AED=90∘，
∴∠AED=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2） 在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE 平分 AB，
∴AE=5．
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴DE6=58，
∴DE=154．
20. （1） 把 x=0 代入 y=−x2+4x+5=5，
∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为 0,5．
（2） 这里 a=−1，b=4，c=−5，
∴−b2a=−42×−1=2．
∴ 对称轴直线 x=2．
21. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=∠ACB=70∘，
∵DE 垂直平分 AC，
∴DA=DC，
∴ 在 △DAC 中，∠DCA=∠A=40∘，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=30∘．
（2） ∵DE 垂直平分 AC，
∴DA=DC，EC=EA=5，
∴AC=2AE=10，
∴△ABC 的周长为：AC+BC+BD+DA=10+BC+BD+DC=10+16=26．
22. 作 DE⊥AC，垂足为 E，
在 Rt△CED 中，sinC=EDCD，
∵∠C=30∘，CD=20 米，
∴DE=10 米，
∵csC=CECD，
∴32=CE20，
∴CE=103 米，
∵∠ADB 是 △ACD 的外角，
∠ADB=75∘，∠C=30∘，
∴∠CAD=45∘，
∴ 在 Rt△ADE 中，tan∠EAD=EDAE=1，
∴AE=10 米．
∴AC=AE+CE=10+103 米，
∴ 在 Rt△ABC 中，sin∠C=ABAC，
∴AB=5+53 米，
答：这棵树 AB 的高度是 5+53 米．
23. ∵OC⊥AB，OC 为半径，
∴AD=DB=12AB=4．
设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=r−2．
在 Rt△ODA 中，AD2+OD2=OA2，即 42+r−22=r2．解得 r=5．
∴⊙O 的半径是 5．
24. （1） 一次函数的图象都经过点 Am,−1，
∴−1=mm−1+m−2 且 m−1≠0，
∴m=−1，
∴A−1,−1，
∵ 反比例函数的图象都经过点 A−1,−1，
∴k=1．
（2） ∵ 点 Bx1,y1，Cx2,y2，在该一次函数图象上，
∴y1=m−1x1+m−2, ⋯⋯①y2=m−1x2+m−2, ⋯⋯②
①-② 得 y1−y2=m−1x1−x2，
∵k=x1−x2y1−y2，
∴k=m−1x1−x22，
∴ 当 m>1 时，k>0，反比例函数的图象在一三象限；
当 m<1 时，k<0，反比例函数的图象在二四象限．
25. （1）
x/cm01234y1/cm3.09y2/cm
（2） 画出函数 y1 的图象．
（3） 0.83 或 2.49；5.32
26. （1） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AC=6，BC=10，
由勾股定理，得 AB=BC2−AC2 .
∴AB=8．
（2） 如图即为所求.
（3） ∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
又 DE∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=8．
同理，AD=AC=6．
∴DE=14．
27. 根据题意，得 1+b+c=0,c=1. 解得 b=−2,c=1.
所以所求的二次函数的解析式为 y=x2−2x+1．
又因为 y=x2−2x+1=x−12，
所以函数图象的顶点坐标是 1,0．
28. （1） 6；0；0；4
（2） P−18,1
（3） 1 或 3