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2021年北京朝阳区体育场路中学七年级上期末数学试卷
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这是一份2021年北京朝阳区体育场路中学七年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的相反数是
A. −9B. 9C. 19D. −19
2. 在数轴上表示实数 a 和 b 的点的位置如图所示，那么下列各式成立的是
A. ab
C. ab>0D. a>b
3. 如图，桌子上放着一个圆柱和一个长方体，从上面看到的平面图形应是
A. B.
C. D.
4. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是
A. Φ 45.02B. Φ 44.9C. Φ 44.98D. Φ 45.01
5. 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是
A. B.
C. D.
6. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有
①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离；
②线段 AC 是 A 点到 BC 的距离；
③ AB>AC>CD；
④线段 BC 是 B 到 AC 的距离；
⑤ CDA. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
7. 下列计算中正确的是
A. 5a+6b=11abB. 9a−a=8C. a2+3a=4a3D. 3ab+4ab=7ab
8. 据中新社 2017 年 10 月 8 日报道，2017 年我国粮食总产量达到 736000000 吨，将 736000000 用科学记数法表示为
A. 736×106B. 73.6×107C. 7.36×108D. 0.736×109
9. 如图，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点，下列结论中错误的是
A. △AAʹP 是等腰三角形
B. MN 垂直平分 AAʹ，CCʹ
C. △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的面积相等
D. 直线 AB，AʹBʹ 的交点不一定在 MN 上
10. 已知甲煤场有煤 518 吨，乙煤场有煤 106 吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的 2 倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤 x 吨到乙煤场，则可列方程为
A. 518=2106+xB. 518−x=2×106
C. 518−x=2106+xD. 518+x=2106−x
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 数轴上到表示 −235 的点的距离等于 4 的点所对应的数是 ．
12. 经过一点的直线有 条；经过两点的直线有 条，并且 一条；经过三点的直线 存在，如点 C 不在经过 A，B 两点的直线 AB 上，那么 经过 A，B，C 三点的直线．
13. 绝对值不大于 3 的非负整数有 ．
14. 单项式 −x2y3 的系数与次数的积是 ．
15. 若 m，n 互为相反数，则 m+n−5= ．
16. 0.75∘= 分 = 秒；3600ʺ= 度．
17. 若 x=2 是关于 x 的方程 2x−m+6=0 的解，则 m 的值为 ．
18. 5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
19. 在图中按要求作图：
（1）过点 A 作直线 m 垂直于平面 ABCD；
（2）作直线 n，使直线 n 垂直于平面 ABCD．（m，n 不重合）
20. 计算：−1−2−3−4−⋯−2020．
21. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×−5，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军：原式=49+2425×−5=49×−5+2425×−5=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好?
（2）你认为还有更好的解法吗?如果有，请把它写出来．
（3）用你认为最简便的方法计算：191516×−8．
22. 计算：−32−35÷−7+18×−132．
23. 小颖解方程 2x−13=x+m3−2 去分母时，方程右边的 −2 没有乘以 3，因而求得方程的解为 x=−1，求 m 的值，并正确地求出方程的解．
24. 解方程：2x+34−12x=12x−1+2．
25. 读出下列语句，并按照这些语句画出图形．
（1）两条直线 a，b，相交于点 P，点 M 在直线 a 上，不在直线 b 上；
（2）直线 m 经过 A，B，C 三点，点 C 在点 A 与点 B 之间；
（3）直线 n 经过点 A，B，点 P 不在直线 n 上．
26. 已知：如图，∠AOB=30∘，∠COB=20∘，OC 平分 ∠AOD．求 ∠BOD 的度数．
27. 某次义务劳动，有甲、乙两个工地，甲工地有 27 人在劳动，乙工地有 19 人在劳动．现在又有 20 人来参加义务劳动，要使甲工地人数为乙工地人数的 2 倍．问应分别调往甲、乙两工地各多少人?
28. 2018 年某市政府投入 780 万元资金进行社区道路硬化和道路拓宽改造．社区道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化里程数是道路拓宽里程数的 4 倍，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1:2．
（1）道路硬化的里程数是多少千米?
（2）每千米道路硬化和道路拓宽各需资金多少万元?
（3）为加快建设，政府决定加大投入并提高道路改造质量．经测算：如果 2019 年政府投入资金在 2018 年的基础上增加 10a%，每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2018 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在 2018 年的基础上分别增加 50%，80%，按此测算，2019 年政府将投入资金多少万元?
29. 请回答：
（1）比较下列各式的大小（用“<”或“>”或“=”连接）．
① ∣−4∣+∣5∣ ∣−4+5∣．
② −12+−13 −12−13．
③ ∣8∣+∣−2∣ ∣8−2∣．
④ ∣0∣+∣−7∣ ∣0−7∣．
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当 a，b 为有理数时，∣a∣+∣b∣ 与 ∣a+b∣ 的大小关系．（直接写出结论即可）
（3）根据（2）中得出的结论，当 ∣x∣+2017=∣x−2017∣ 时，x 的取值范围是 ．如 a1+a2+a3+a4=12，a1+a2+a3+a4=2，则 a1+a2= ．
30. 已知 ∠AOB 和 ∠AOC 是同一个平面内的两个角，OD 是 ∠BOC 的平分线．
（1）若 ∠AOB=50∘，∠AOC=70∘，如图（1），图（2），求 ∠AOD 的度数；
（2）若 ∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中 0答案
第一部分
1. A
2. B【解析】A、根据 a 在 b 的右边，则 a>b，故本选项错误；
B、根据 a 在 b 的右边，则 a>b，故本选项正确；
C、根据 a 在原点的右边，b 在原点的左边，得 b<0 D、根据 b 离原点的距离较远，则 b>a，选项错误．
3. B
4. B【解析】因为 45+0.03=45.03，45−0.04=44.96，
所以零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03．
因为 44.9 不在该范围之内，
所以不合格的是B．
5. C
6. B【解析】①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离，正确；
②线段 AC 的长度是 A 点到 BC 的距离，不正确；
③ AB>AC>CD，正确；
④线段 BC 的长度是 B 到 AC 的距离，不正确；
⑤ CD7. D
8. C
9. D【解析】直线 AB，AʹBʹ 的交点一定在 MN 上．
10. C
【解析】设从甲煤场运煤 x 吨到乙煤场，可得：518−x=2106+x．
第二部分
11. −635 或 125
12. 无数，一，只有，不一定，不存在
13. 0 ， 1 ， 2 ， 3
14. −1
【解析】单项式 −x2y3 的系数与次数分别为：−13，3，
则 −13×3=−1．
15. −5
【解析】m，n 互为相反数，
∴m+n=0，原式=0−5=−5．
16. 45，2700，1
【解析】0.75∘=0.75×60ʹ=45ʹ，45ʹ=2700ʺ，
即 0.75∘=45ʹ=2700ʺ，
3600ʺ=3600÷60ʹ=60ʹ，
60ʹ=60÷60∘=1∘，
即 3600ʺ=1∘．
17. 10
18. 9
第三部分
19. 略．
20. −1−2−3−4−⋯−2020=12×−1−2−3−4−⋯−2020−1−2−3−4−⋯−2020=−12×1+2020+2+2019+3+2018+⋯+2020+1=−12×2021+2021+2021+⋯+2021⏟2020个2021相加=−12×2021×2020=−2041210.
21. （1） 小军的解法较好．
（2） 还有更好的解法．
492425×−5=50−125×−5=50×−5−125×−5=−250+15=−24945.
（3） 191516×−8=20−116×−8=20×−8−116×−8=−160+12=−15912.
22. 原式=−9+5+18×19=−4+2=−2.
23. 由题意可知，x=−1 是方程 2x−1=x+m−2 的解，
故将 x=−1 代入方程得 −2−1=−1+m−2，
解得 m=0，
当 m=0 时，原方程为：2x−13=x3−2，
去分母，得 2x−1=x−6，
移项，得 2x−x=−6+1，
系数化为 1，得 x=−5．
24. x=0．
25. （1） 略
（2） 略
（3） 略
26. 因为 ∠AOB=30∘，∠COB=20∘，
所以 ∠AOC=∠AOB+∠BOC=30∘+20∘=50∘，
因为 OC 平分 ∠AOD，
所以 ∠AOC=∠COD=50∘，
所以 ∠BOD=∠BOC+∠COD=20∘+50∘=70∘．
27. 设应调往甲工地 x 人，则调往乙工地 20−x 人，
根锯题意，得
27+x=219+20−x,
去括号，得
27+x=38+40−2x,
解得
x=17.
答：应调往甲工地 17 人，调往乙工地 3 人．
28. （1） 设道路拓宽的里程数是 x 千米，则道路硬化的里程数是 4x 千米；
根据题意得：x+4x=50，
解得：x=10，则 4x=40；
答：道路硬化的里程数是 40 千米；
（2） 设每千米道路硬化和道路拓宽分别需资金 y 万元、 2y 万元；
根据题意得：40y+10×2y=780，
解得：y=13，
则 2y=26．
答：每千米道路硬化和道路拓宽分别需资金 13 万元、 26 万元；
（3） 根据题意得：131+a%×401+50%+261+5a%×101+80%=7801+10a%，
解得：a=10，
∴7801+10a%=1560（万元）；
答：2019 年政府将投入资金 1560 万元．
29. （1） >；=；>；=
【解析】① ∵∣−4∣+∣5∣=9，∣−4+5∣=1，
∴∣−4∣+∣5∣>∣−4+5∣．
② ∵−12+−13=56，−12−13=56
∴−12+−13=−12−13．
③ ∵∣8∣+∣−2∣=10，∣8−2∣=6，
∴∣8∣+∣−2∣>∣8−2∣．
④ ∵∣0∣+∣−7∣=7，∣0−7∣=7，
∴∣0∣+∣−7∣=∣0−7∣．
（2） ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣．
【解析】当 a，b 异号时，∣a∣+∣b∣>∣a+b∣，
当 a，b 同号或其中有一个加数是 0 时，∣a∣+∣b∣=∣a+b∣，
∴∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣．
（3） x≤0；7 或 −7 或 5 或 −5
【解析】由（2）中得出的结论可知，x 与 −2017 同号，
当 ∣x∣+2017=∣x−2017∣ 时，则 x 的取值范围是：x≤0．
当 a1+a2+a3+a4=12，a1+a2+a3+a4=2，
可得 a1+a2 和 a3+a4 异号，
则 a1+a2=7或−7或5或−5．
30. （1） 图（1）∠BOC=∠AOC−∠AOB=20∘，
∵OD 是 ∠BOC 的平分线，
∴∠COD=12∠BOC=10∘，
∴∠AOD=∠AOC−∠COD=60∘；
图（2）∠BOC=∠AOC+∠AOB=120∘，
∵OD 是 ∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=60∘，
∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=10∘．
（2） 如图 1，当 OB 在 ∠AOC 的内部时，∠AOD=n+m2；
如图 2，当 OB 在 ∠AOC 的外部时，∠AOD=n−m2．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的相反数是
A. −9B. 9C. 19D. −19
2. 在数轴上表示实数 a 和 b 的点的位置如图所示，那么下列各式成立的是
A. a
C. ab>0D. a>b
3. 如图，桌子上放着一个圆柱和一个长方体，从上面看到的平面图形应是
A. B.
C. D.
4. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是
A. Φ 45.02B. Φ 44.9C. Φ 44.98D. Φ 45.01
5. 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是
A. B.
C. D.
6. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有
①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离；
②线段 AC 是 A 点到 BC 的距离；
③ AB>AC>CD；
④线段 BC 是 B 到 AC 的距离；
⑤ CD
7. 下列计算中正确的是
A. 5a+6b=11abB. 9a−a=8C. a2+3a=4a3D. 3ab+4ab=7ab
8. 据中新社 2017 年 10 月 8 日报道，2017 年我国粮食总产量达到 736000000 吨，将 736000000 用科学记数法表示为
A. 736×106B. 73.6×107C. 7.36×108D. 0.736×109
9. 如图，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点，下列结论中错误的是
A. △AAʹP 是等腰三角形
B. MN 垂直平分 AAʹ，CCʹ
C. △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的面积相等
D. 直线 AB，AʹBʹ 的交点不一定在 MN 上
10. 已知甲煤场有煤 518 吨，乙煤场有煤 106 吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的 2 倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤 x 吨到乙煤场，则可列方程为
A. 518=2106+xB. 518−x=2×106
C. 518−x=2106+xD. 518+x=2106−x
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 数轴上到表示 −235 的点的距离等于 4 的点所对应的数是 ．
12. 经过一点的直线有 条；经过两点的直线有 条，并且 一条；经过三点的直线 存在，如点 C 不在经过 A，B 两点的直线 AB 上，那么 经过 A，B，C 三点的直线．
13. 绝对值不大于 3 的非负整数有 ．
14. 单项式 −x2y3 的系数与次数的积是 ．
15. 若 m，n 互为相反数，则 m+n−5= ．
16. 0.75∘= 分 = 秒；3600ʺ= 度．
17. 若 x=2 是关于 x 的方程 2x−m+6=0 的解，则 m 的值为 ．
18. 5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
19. 在图中按要求作图：
（1）过点 A 作直线 m 垂直于平面 ABCD；
（2）作直线 n，使直线 n 垂直于平面 ABCD．（m，n 不重合）
20. 计算：−1−2−3−4−⋯−2020．
21. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×−5，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军：原式=49+2425×−5=49×−5+2425×−5=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好?
（2）你认为还有更好的解法吗?如果有，请把它写出来．
（3）用你认为最简便的方法计算：191516×−8．
22. 计算：−32−35÷−7+18×−132．
23. 小颖解方程 2x−13=x+m3−2 去分母时，方程右边的 −2 没有乘以 3，因而求得方程的解为 x=−1，求 m 的值，并正确地求出方程的解．
24. 解方程：2x+34−12x=12x−1+2．
25. 读出下列语句，并按照这些语句画出图形．
（1）两条直线 a，b，相交于点 P，点 M 在直线 a 上，不在直线 b 上；
（2）直线 m 经过 A，B，C 三点，点 C 在点 A 与点 B 之间；
（3）直线 n 经过点 A，B，点 P 不在直线 n 上．
26. 已知：如图，∠AOB=30∘，∠COB=20∘，OC 平分 ∠AOD．求 ∠BOD 的度数．
27. 某次义务劳动，有甲、乙两个工地，甲工地有 27 人在劳动，乙工地有 19 人在劳动．现在又有 20 人来参加义务劳动，要使甲工地人数为乙工地人数的 2 倍．问应分别调往甲、乙两工地各多少人?
28. 2018 年某市政府投入 780 万元资金进行社区道路硬化和道路拓宽改造．社区道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化里程数是道路拓宽里程数的 4 倍，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1:2．
（1）道路硬化的里程数是多少千米?
（2）每千米道路硬化和道路拓宽各需资金多少万元?
（3）为加快建设，政府决定加大投入并提高道路改造质量．经测算：如果 2019 年政府投入资金在 2018 年的基础上增加 10a%，每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2018 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在 2018 年的基础上分别增加 50%，80%，按此测算，2019 年政府将投入资金多少万元?
29. 请回答：
（1）比较下列各式的大小（用“<”或“>”或“=”连接）．
① ∣−4∣+∣5∣ ∣−4+5∣．
② −12+−13 −12−13．
③ ∣8∣+∣−2∣ ∣8−2∣．
④ ∣0∣+∣−7∣ ∣0−7∣．
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当 a，b 为有理数时，∣a∣+∣b∣ 与 ∣a+b∣ 的大小关系．（直接写出结论即可）
（3）根据（2）中得出的结论，当 ∣x∣+2017=∣x−2017∣ 时，x 的取值范围是 ．如 a1+a2+a3+a4=12，a1+a2+a3+a4=2，则 a1+a2= ．
30. 已知 ∠AOB 和 ∠AOC 是同一个平面内的两个角，OD 是 ∠BOC 的平分线．
（1）若 ∠AOB=50∘，∠AOC=70∘，如图（1），图（2），求 ∠AOD 的度数；
（2）若 ∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中 0
第一部分
1. A
2. B【解析】A、根据 a 在 b 的右边，则 a>b，故本选项错误；
B、根据 a 在 b 的右边，则 a>b，故本选项正确；
C、根据 a 在原点的右边，b 在原点的左边，得 b<0
3. B
4. B【解析】因为 45+0.03=45.03，45−0.04=44.96，
所以零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03．
因为 44.9 不在该范围之内，
所以不合格的是B．
5. C
6. B【解析】①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离，正确；
②线段 AC 的长度是 A 点到 BC 的距离，不正确；
③ AB>AC>CD，正确；
④线段 BC 的长度是 B 到 AC 的距离，不正确；
⑤ CD
8. C
9. D【解析】直线 AB，AʹBʹ 的交点一定在 MN 上．
10. C
【解析】设从甲煤场运煤 x 吨到乙煤场，可得：518−x=2106+x．
第二部分
11. −635 或 125
12. 无数，一，只有，不一定，不存在
13. 0 ， 1 ， 2 ， 3
14. −1
【解析】单项式 −x2y3 的系数与次数分别为：−13，3，
则 −13×3=−1．
15. −5
【解析】m，n 互为相反数，
∴m+n=0，原式=0−5=−5．
16. 45，2700，1
【解析】0.75∘=0.75×60ʹ=45ʹ，45ʹ=2700ʺ，
即 0.75∘=45ʹ=2700ʺ，
3600ʺ=3600÷60ʹ=60ʹ，
60ʹ=60÷60∘=1∘，
即 3600ʺ=1∘．
17. 10
18. 9
第三部分
19. 略．
20. −1−2−3−4−⋯−2020=12×−1−2−3−4−⋯−2020−1−2−3−4−⋯−2020=−12×1+2020+2+2019+3+2018+⋯+2020+1=−12×2021+2021+2021+⋯+2021⏟2020个2021相加=−12×2021×2020=−2041210.
21. （1） 小军的解法较好．
（2） 还有更好的解法．
492425×−5=50−125×−5=50×−5−125×−5=−250+15=−24945.
（3） 191516×−8=20−116×−8=20×−8−116×−8=−160+12=−15912.
22. 原式=−9+5+18×19=−4+2=−2.
23. 由题意可知，x=−1 是方程 2x−1=x+m−2 的解，
故将 x=−1 代入方程得 −2−1=−1+m−2，
解得 m=0，
当 m=0 时，原方程为：2x−13=x3−2，
去分母，得 2x−1=x−6，
移项，得 2x−x=−6+1，
系数化为 1，得 x=−5．
24. x=0．
25. （1） 略
（2） 略
（3） 略
26. 因为 ∠AOB=30∘，∠COB=20∘，
所以 ∠AOC=∠AOB+∠BOC=30∘+20∘=50∘，
因为 OC 平分 ∠AOD，
所以 ∠AOC=∠COD=50∘，
所以 ∠BOD=∠BOC+∠COD=20∘+50∘=70∘．
27. 设应调往甲工地 x 人，则调往乙工地 20−x 人，
根锯题意，得
27+x=219+20−x,
去括号，得
27+x=38+40−2x,
解得
x=17.
答：应调往甲工地 17 人，调往乙工地 3 人．
28. （1） 设道路拓宽的里程数是 x 千米，则道路硬化的里程数是 4x 千米；
根据题意得：x+4x=50，
解得：x=10，则 4x=40；
答：道路硬化的里程数是 40 千米；
（2） 设每千米道路硬化和道路拓宽分别需资金 y 万元、 2y 万元；
根据题意得：40y+10×2y=780，
解得：y=13，
则 2y=26．
答：每千米道路硬化和道路拓宽分别需资金 13 万元、 26 万元；
（3） 根据题意得：131+a%×401+50%+261+5a%×101+80%=7801+10a%，
解得：a=10，
∴7801+10a%=1560（万元）；
答：2019 年政府将投入资金 1560 万元．
29. （1） >；=；>；=
【解析】① ∵∣−4∣+∣5∣=9，∣−4+5∣=1，
∴∣−4∣+∣5∣>∣−4+5∣．
② ∵−12+−13=56，−12−13=56
∴−12+−13=−12−13．
③ ∵∣8∣+∣−2∣=10，∣8−2∣=6，
∴∣8∣+∣−2∣>∣8−2∣．
④ ∵∣0∣+∣−7∣=7，∣0−7∣=7，
∴∣0∣+∣−7∣=∣0−7∣．
（2） ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣．
【解析】当 a，b 异号时，∣a∣+∣b∣>∣a+b∣，
当 a，b 同号或其中有一个加数是 0 时，∣a∣+∣b∣=∣a+b∣，
∴∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣．
（3） x≤0；7 或 −7 或 5 或 −5
【解析】由（2）中得出的结论可知，x 与 −2017 同号，
当 ∣x∣+2017=∣x−2017∣ 时，则 x 的取值范围是：x≤0．
当 a1+a2+a3+a4=12，a1+a2+a3+a4=2，
可得 a1+a2 和 a3+a4 异号，
则 a1+a2=7或−7或5或−5．
30. （1） 图（1）∠BOC=∠AOC−∠AOB=20∘，
∵OD 是 ∠BOC 的平分线，
∴∠COD=12∠BOC=10∘，
∴∠AOD=∠AOC−∠COD=60∘；
图（2）∠BOC=∠AOC+∠AOB=120∘，
∵OD 是 ∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=60∘，
∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=10∘．
（2） 如图 1，当 OB 在 ∠AOC 的内部时，∠AOD=n+m2；
如图 2，当 OB 在 ∠AOC 的外部时，∠AOD=n−m2．
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