2019-2020学年北京朝阳区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京朝阳区八上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 xx−5 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x=5C. x≠0D. x≠5

2. 2019 年被称为中国的 5G 元年，如果运用 5G 技术，下载一个 2.4 M 的短视频大约只需要 0.000048 秒，将数字 0.000048 用科学记数法表示应为
A. 0.48×10−4B. 4.8×10−5C. 4.8×10−4D. 48×10−6

3. 下列交通标志中，轴对称图形的个数为
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 下列计算正确的是
A. m3⋅m2⋅m=m5B. m43=m7
C. −2m2=4m2D. m0=0

5. 正五边形 ABCDE 中，∠BEC 的度数为
A. 18∘B. 30∘C. 36∘D. 72∘

6. △ABC 中，AB=3，AC=2，BC=a，下列数轴中表示的 a 的取值范围，正确的是
A. B.
C. D.

7. 已知等边三角形 ABC，如图．
（1）分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；
（2）作直线 MN 交 AB 于点 D；
（3）分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧相交于 H，L 两点；
（4）作直线 HL 交 AC 于点 E；
（5）直线 MN 与直线 HL 相交于点 O；
（6）连接 OA，OB，OC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：① OB=2OE；② AB=2OA；③ OA=OB=OC；④ ∠DOE=120∘，正确的是
A. ①②③④B. ①③④C. ①②③D. ③④

8. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在第一象限，B2,0，∠AOB=60∘，∠ABO=90∘．在 x 轴上取一点 Pm,0，过点 P 作直线 l 垂直于直线 OA，将 OB 关于直线 l 的对称图形记为 OʹBʹ，当 OʹBʹ 和过 A 点且平行于 x 轴的直线有交点时，m 的取值范围为
A. m≥4B. m≤6C. 4
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，图中以 BC 为边的三角形的个数为 ．

10. 若 ax=5，ay=3，则 ax−y= ．

11. 如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．

12. 分解因式：3x2+6x+3= ．

13. 若 a=2019，b=2020，则 a2a−2b−aa−b2÷b2 的值为 ．

14. 如图，AB=AC，BD⊥AC，∠CBD=α，则 ∠A= （用含 α 的式子表示）．

15. 如图，D 是 △ABC 内部的一点，AD=CD，∠BAD=∠BCD，下列结论中，① ∠DAC=∠DCA；② AB=AC；③ BD⊥AC；④ BD 平分 ∠ABC．所有正确结论的序号是 ．

16. 如图，∠ABC=60∘，AB=3，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 BC 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，当 △ABP 是钝角三角形时，t 满足的条件是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 依据右侧流程图计算 2mm2−n2−1m+n 需要经历的路径是 （只填写序号），输出的运算结果是 ．

18. 计算：m+n+2m+n−2−mm+4n．

19. 解方程 1x−2+1=2x2x+1．

20. 如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，BF=EC，AC=DF．
（1）在下列条件① ∠B=∠E；② ∠ACB=∠DFE；③ AB=DE；④ AC∥DF 中，只添加一个条件，就可以证明 △ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是 ．
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明 ∠A=∠D．

21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点都在网格线的交点上，点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为 2,0，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为 −1,−2．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系 xOy；
（2）画出 △ABC 分别关于 y 轴的对称图形 △A1B1C1；
（3）写出点 A 关于 x 轴的对称点的坐标．

22. 证明：如果两个三角形有两个角及它们夹边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．

23. 阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD 为 △ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE=EF．求证：AC=BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一：如图 1，添加辅助线后依据 SAS 可证得 △ADC≌△GDB，再利用 AE=EF 可以进一步证得 ∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG，从而证明结论．
思路二：如图 2，添加辅助线后并利用 AE=EF 可以证得 ∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据 AAS 可以进一步证得 △ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ．
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

24. 随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的 25 倍，经过测试，由 5 人用此设备分拣 8000 件快件的时间，比 20 人用传统方式分拣同样数量的快件节省 4 小时．某快递中转站平均每天需要分拣 10 万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为 8 小时）．

25. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，延长 AB 至点 E，使 ∠AEC=∠DAB．判断 CE 与 AD 的数量关系，并证明你的结论．

26. 如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与 △ABC 关于直线 AC 对称，AE 与 CD 垂直交 BC 的延长线于点 E，∠EAF=45∘，且 AF 与 AB 在 AE 的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）在 AE 上找一点 P，使点 P 到点 B 、点 C 的距离的和最短．
（3）求证：点 D 到 AF，EF 的距离相等．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 At−1,1 与点 B 关于过点 t,0 且垂直于 x 轴的直线对称．
（1）以 AB 为边作等边三角形 ABC，
①当 t=2 时，点 B 的坐标为 ．
②当 t=0.5 且直线 AC 经过原点 O 时，点 C 与原点 O 的距离为 ．
③若 △ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，则 t 的取值范围是 ．
（2）以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABD，直线 m 经过点 0,b 且与 x 轴平行，若直线 m 上存在点 P，△ABD 上存在点 K，满足 PK=1，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】xx−5 有意义，
∴x−5≠0，
∴x≠5．
2. B
3. B
4. C【解析】A选项：m3⋅m2⋅m=m3+2+1=m6≠m5，故A错误；
B选项：m43=m4×3=m12≠m7，故B错误；
C选项：−2m22=−22⋅m2=4m2，故C正确；
D选项：m0=1≠0，故D错误．
5. C
6. A
7. B
8. D
第二部分
9. 4
【解析】以 BC 为边的三角形有：△ABC，△EBC，△DBC，△FBC，
∴ 共有 4 个以 BC 为边的三角形．
10. 53
【解析】∵ax=5，ay=3，
∴ax−y=ax÷ay=5÷3=53．
11. a+2a−2=a2−4
12. 3x+12
【解析】3x2+6x+3=3x2+2x+1=3x+12．
13. −2019
【解析】原式=a3−2a2b−aa2−2ab+b2÷b2=a3−2a2b−a3−2a2b+ab2÷b2=a3−2a2b−a3+2a2b−ab2÷b2=−ab2÷b2=−a,
∵a=2019，
∴原式=−2019．
14. 2α
【解析】∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠BDA=90∘，
∵∠CBD=α，
∴∠BCD=180∘−∠BDC−∠CBD=180∘−90∘−α=90∘−α,
又 ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD，
∴∠ABC=90∘−α，
又 ∵∠ABC=∠ABD+∠CBD，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=90∘−α−α=90∘−2α,
∴∠A=180∘−∠ABD−∠BDA=180∘−90∘−2α−90∘=180∘−90∘+2α−90∘=2α.
15. ①③④
16. 06
第三部分
17. ②④；1m−n
【解析】2mm2−n2−1m+n分母不相同②=2mm+nm−n−m−nm+nm−n=2m−m−nm+nm−n=2m−m+nm+nm−n=m+nm+nm−n不是最简分式④=1m−n.
18. m+n+2m+n−2−mm+4n=m+n2−22−m2+4mn=m2+2mn+n2−4−m2−4mn=m2+2mn+n2−4−m2−4mn=n2−2mn−4.
19.
1x−2+1=2x2x+1.2x+1+x−22x+1=2xx−2.2x+1+2x2+x−4x−2=2x2−4x.2x+2x2+x−4x−2x2+4x=−1+2.3x=1.x=13.
检验，将 x=13 代入最简公分母 x−22x+1=13−223+1=−259≠0，
∴x=13 为原分式方程的解．
20. （1） ②③④
【解析】∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
又 ∵AC=DF，
∴ ① ∠ACB=∠DFE，利用边角边证明全等；
② AB=DE，利用边边边证明全等；
③ AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等），利用边角边证全等．
∴ ②③④添加可证全等，
∵ 没有边边角的全等判定，
∴ ①不可证明全等．
（2） ② ∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
又 ∵AC=DF，∠ACB=∠DFE，
∴ 在 △ABC 和 △DEF 中，
AC=DF,∠ACB=∠DFE,CB=FE,
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠A=∠D．
【解析】备选答案：
③ ∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
又 ∵AC=DF，AB=DE，
∴ 在 △ABC 和 △DEF 中，
AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEFSSS，
∴∠A=∠D．
④ ∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
又 ∵AC=DF，
∴ 在 △ABC 和 △DEF 中，
AC=DF,∠ACB=∠DFE,BC=EF,
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠A=∠D．
21. （1） 建立平面直角坐标系 xOy．
（2） 画出 △A1B1C1．
（3） −4,−4．
22. 由题意可知，在 △ABC 和 △DEP 中，∠B=∠E，∠C=∠F，AM⊥BC，DN⊥EF，AM=DN．
∵ AM⊥BC，
∴ ∠BMA=∠CMA=90∘．
又 ∵ DN⊥EF，
∴ ∠END=∠DNF=90∘．
在 △ABM 和 △DEN 中，
∠B=∠E,∠BMA=∠END=90∘,MD=ND,
∴ △ABM≌△DENAAS．
∴ AB=DE．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠C=∠F,∠B=∠E,BA=ED,
∴ △ABC≌△DEFAAS．
23. （1） 延长 AD 到 G 使 AD=DG；过 B 作 BG∥AC 交 AD 延长线于点 G
【解析】①延长 AD 到 G 使 AD=DG，连接 BG，
∵D 为 BC 中点，
∴BD=DC，
在 △BDG 和 △CDA 中，
BD=CD,∠BDG=∠CDA,DG=DA,
∴△BDG≌△CDASAS，
∴BG=AC，∠G=∠CAD，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG，
∴BF=AC．
②过 B 作 BG∥AC 交 AD 延长线于点 G，
∴∠G=∠CAD，
∵AE=FE，
∴∠CAD=∠EFA，
∵∠BFG=∠EFA，
∴∠G=∠BFG，
∴BG=BF，
∵D 是 BC 中点，
∴BD=CD，
在 △BDG 和 △CDA 中，
∠G=∠CAD,∠BDG=∠CDA,BD=CD,
∴△BDG≌△CDAAAS，
∴BG=AC，
∴BF=AC．
（2） 延长 FD 到 H 使 FD=HD，连接 CH．
【解析】∵D 是 BC 中点，
∴BD=CD，
在 △BDF 和 △CDH 中，
BD=CD,∠BDF=∠CDH,FD=HD,
∴△BDF≌△CDH，
∴BF=CH，∠BFD=∠H，
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFD，
∴∠H=∠EAF，
∴CA=CH，
∴BF=AC．
24. 设传统分拣方式每人每小时分拣快件 x 件，
则用智能分拣设备每人每小时分拣快件 25x 件，
80005⋅25x=800020⋅x−4,8000125x=800020x−4,64x=400x−4,64=400−4x,4x=400−64,4x=336,x=84.∴25x=25×84=2100
，
100000÷8÷2100=12500÷2100=5.952<6．
答：每天只需安排 6 名工人就可以完成工作．
25. AD=12CE．
取 BE 的中点 F，连接 DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵ 点 F 是 BE 的中点，
∴BF=EF，
∴DF∥CE，DF=12CE，
∴∠DFB=∠CEB，
∵∠AEC=∠DAB，
∴∠DFB=∠DAB，
∴DA=DF，
∴DA=12CE．
26. （1）
（2） ∵△ADC 为等边三角形，AE⊥CD，
∴C 与 D 关于 AE 对称．
∴PC=PD．
∴PB+PC=PB+PD．
∴ 当 P 在线段 BD 上时，PB+PD 最短．
∴P 在 BD 与 AE 交点处．
如图，点 P 即为所求．
（3） ∵△ADC 为等边三角形，AE⊥CD，
∴∠CAE=30∘．
又 ∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60∘．
∴ 在 △BAE 中，∠B=60∘，∠BAE=∠BAC+∠EAC=90∘．
∴∠BEA=∠CAE=30∘．
∴CE=CA．
∴CD 垂直平分 AE．
∵∠EAF=45∘，EF⊥AF，
∴∠FEA=45∘，FA=FE．
∴F 在 AE 垂直平分线上．
∴C，D，F 共线．
又 ∵FA=FE，CD⊥AE，
∴FC 平分 ∠AFE．
∴D 到 AF，EF 的距离相等．
27. （1） ① 3,1；② 2−52；③ t≥2 或 t≤−2
【解析】① At−1,1，
过点 t,0 且垂直于 x 轴的直线为直线 x=t．
∴ Bt+1,1，
∴ AB=2．
t=2 时，A1,1，B3,1．
② t=0.5 时，A−12,1，B32,1，
由题意可知 AO=122+11=52，
∵ AC=AB=2，
∴ OC=AC−AO=2−52．
③ ∵ △ABC 为等边三角形，
∴ xc=t．
△ABC 上所有点到 y 轴距离都不小于 1．
∴ t−1≥1 或 t+1≤−1，
t≥2 或 t≤−2．
（2） −1≤b≤3
【解析】由题意可知 At−1,1，Bt+1,1，
∴ Dt,2或t,0，
直线 m 过 0,b 且与 x 轴平行，
∴ 直线 m 即直线 y=b，
∵ PK=1，
∴ −1≤b≤3．