21.高中数学（人教B版）平面与平面平行1-教案

教学基本信息

课题

平面与平面平行

学科

数学

学段： 高中

年级

一年级

教材

书名：普通高中教科书B版 数学 必修第四册

出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年12月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：1、归纳概括面面平行的判定定理，探索并证明面面平行的性质定理；应用两个定理解决一些简单的推理论证问题．

2、经历观察、猜想、论证的探究过程，发展空间想象能力和几何论证能力．

提高数学文字语言、符号语言、图形语言的表述能力．

3、体会转化和化归的数学思想，进一步提高学习数学的兴趣．

教学重点：面面平行的判定定理和性质定理的理解．

教学难点：空间中三种平行关系间的合理转化．

教学过程(表格描述)

教学环节

1、回顾旧知；

2、探索新知；

3、课堂练习；

4、课堂总结．

以旧入新，引导学生将新旧知识建立起联系．

引入

首先，我们回顾一下前面的知识．

我们可以用线线平行判定线面平行——如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．用符号语言表示为：如果，则．

我们也可以由线面平行的性质得到线线平行——如果一条直线与一个平面平行，且经过该直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行．用符号语言表示为：如果，则．

这说明线线平行和线面平行可以相互转化．

这节课我们将一起研究空间中的第三种平行关系——平面与平面平行．

回顾旧知，引出新的位置关系，并为后续三种平行关系间的转化做好铺垫．

新课

1、定义：如果平面与平面没有公共点，称平面a与平面b平行，记作．

判定平面与平面平行有哪些方法？

方法一：定义法；

方法二：若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，这两个平面平行；

方法三：？

有没有可能将“任意一条直线”这个条件转化为“有限条直线”呢?

2、探索判定定理

情况1：平面内有一条直线与另一个平面平行．×

情况2：平面内有两条直线与另一个平面平行．

平行直线：   相交直线：

情况2-1：平行直线×

情况2-2：两条相交直线 √

猜想：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

分析：假设与有公共点，且，

因为，且，

所以．

同理，．

因此，这与l和m相交矛盾，所以．

平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 

符号语言：如果，，，，，则．

例1 如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D、E、F分别是PA、PB、PC的中点，求证：面DEF∥面ABC．

证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，

所以

由例1的证明过程（例1见后），我们可以得到面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

也就是说，我们可以由线线平行推导出面面平行。

那以面面平行为条件，我们又能得出哪些性质呢？

3、探索性质定理：

通过前面的探究，我们已经初步掌握了平面与平面平行的判定，我们可以利用线线平行和线面平行来判定面面平行．那以面面平行为条件，我们又能得出一些什么性质呢？

面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

已知：平面平面，，，

求证：．

证明：因为，且，，

所以．

因为，，

所以l，m共面且没有公共点，

所以．

例2 如图所示，已知都是平面，且，两条直线l，m分别与平面相交于点A、B、C和点D、E、F．

求证：．

分析：情况1：直线l和m共面；

情况2：直线l和m不共面．

通过探索发现，两种情况可以整合在一起进行证明：

证明：连结DC，设DC与平面交于点G，则平面ACD与平面交于直线AD，BG，平面DCF与平面分别相交于直线GE、GF．

因为，

所以，

因此

因此

同理可得，因此

例2的这个结论通常可叙述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

从定义出发，不断简化判定条件，引导学生化“无限”为“有限”

类比旧知，利用反证法证明判定定理

强调文图式三种语言的转换

判定定理的基本应用，加深对定理的理解

从面面平行出发，研究性质，进一步探索三种平行关系之间的相互转化

应用面面平行性质定理解题，加深对性质定理的理解．提高学生的推理能力．

课堂练习

下面我们通过两道课堂练习巩固本节课的知识．

练习1判断下列命题是否正确．

（1）如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，则与另一个平面也平行；×

（2）给定两个平行平面中一个平面内的一条直线，则在另一个平面内有无数条直线与这条直线平行；√

（3）若直线直线，且则；×

（4）分别在两个平行平面内的两条直线平行．×

练习2 如图S-ABC，三棱锥中，E、F、G分别为SC、SA，SB上的点，而且FE∥AC，FG∥AB，求证：GE∥BC．

证明：法一

因为，，

所以，．

所以．

所以GE∥BC．

法二

因为FE∥AC，且，，

所以FE∥面ABC，同理，FG∥面ABC．

因为在面GEF中，，

所以面GEF∥面ABC．

因为，，

所以GE∥BC．

通过对命题的辨析，提高文图式三种语言的转换能力，

对平面几何知识的回顾

面面平行性质定理和判定定理的综合应用

总结

最后让我们来总结一下本节课的内容．

1、这节课，我们通过探索和证明，学习了平面与平面的判定定理和性质定理，并利用这两个定理解决了面面平行的相关问题．证明两个平面平行，关键是在一个平面内找到两条相交直线与另一平面平行．面面平行的性质定理，前提是面面平行，关键是找准面和交线．

2、在立体几何的学习中，我们要重视文、图、式三种语言的准确表述和相互转换．

3、线线平行、线面平行、面面平行这三种平行关系可以相互转化，这种直线、平面间位置关系的相互转化是立体几何中重要的思想方法．

总结思想和方法，提升学生对本节课知识的理解．

作业

1、教材107页练习B 第4题

求证：如图所示正方体中，平面A1BD∥平面CB1D1．

证明：因为是正方体

2、教材107页练习B 第5题

求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．

巩固本节课知识