10.高中数学（人教B版）-复数运算的习题课教案

教学基本信息

课题

复数的运算习题课

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第四册B版  出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年7月

教学设计参与人员

姓名

单位

设计者

陈雪莲

北京市昌平区第二中学

实施者

陈雪莲

北京市昌平区第二中学

指导者

高丽娟

北京市昌平区教师进修学校

课件制作者

陈雪莲

北京市昌平区第二中学

其他参与者

罗柳英

北京市昌平区第二中学

教学目标及教学重点、难点

本节课通过梳理复数的运算的学习过程，回顾复数的四则运算的定义和运算法则，复数加减法的几何意义.通过复数计算的过程，掌握复数运算的方法.通过分析解决复数模的问题，理解复数的几何意义.通过分析解决实系数一元二次方程根的问题，认识实系数一元二次方程在复数集内总有解及两根之间的关系.能够从中体会方程思想，数形结合，类比的数学思想方法.培养数学运算核心素养、逻辑推理核心素养.培养发现、提出问题，分析问题，解决问题的能力.共设计五道例题.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

在前几节课中同学们已经学习了复数的概念、分类及其几何意义、复数的加法与减法，复数的乘法与除法，今天我们一起上一节《复数的运算习题课》.

引入一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究其运算律.引入虚数单位后，将实数集扩充成复数集.研究复数的运算都是以满足类似实数范围内的运算律为基础来研究的.

从已学过的知识结构图引入，说明研究复数运算的必要性和方法.

知识梳理

下面我们一起来回顾复数四则运算的学习过程.

1. 复数的加法与减法

复数的加法法则类比实数的加法和多项式加法法则进行定义.在满足实数的加法的交换律、结合律的基础上，定义复数的加法为，仍然满足交换律和结合律且满足.

类比实数减法运算与加法运算的关系，复数的减法可以看成是复数加法的逆运算，也可以看成一个复数加上另一个复数的相反数，定义复数的减法为.

2.  复数加减法的几何意义

根据复数的几何意义，复数集与平面直角坐标系中的以原点为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系, 因此复数的加减法运算都可以按照向量的加减法进行，满足三角形法则和平行四边形法则. 复数的模的不等式与向量的模的不等式保持一致性.

复数加法的几何意义：

对应的向量为，对应的向量为，对应的向量是.

.

复数加法的几何意义：

,对应的向量分别为 ，设点满足，对应的向量是.

.

3. 复数的乘法与除法

复数的乘法法则类比实数的乘法和多项式乘法法则进行定义.在满足实数的乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律的基础上，定义复数的乘法为，复数的乘法满足交换律、结合律、对加法的分配律，以及.类比实数的除法定义复数的除法是复数的乘法的逆运算.如果则满足的复数称为除以的商，并记作.

两个复数的商的代数形式的求法有两种：

方法一：构造方程（组）

在等式中，设，把用复数乘法运算得到，则，再利用复数相等的定义，构建方程组，求出.

方法二：分母实数化

利用商的定义把表示为，在这个式子中，使分母变为实数即可，利用共轭复数的乘积为实数，所以分子分母均乘以 ，即，把复数的除法运算转化为复数的乘法运算.

4. 复数的乘方运算

在满足复数乘法运算律的基础上类比实数的乘方运算及运算法则我们定义了多个相同复数的乘积，进而定义复数的正整数次幂的乘方运算.在定义复数除法的基础上，定义非零复数的0次幂及负整数次幂，这样就把复数的乘方运算推广到了任意整数次幂.复数的幂的运算法则只有当m，n均为正整数时才成立.

5. 常见结论

（1） ；； ；

（2）；；；（）；

（3） .

通过梳理复数四则运算的定义方法和运算法则，理解实数四则运算与复数四则运算的关系，同时回顾复数四则运算的方法,体会类比的数学思想方法.

从复数的几何意义，回顾复数加减法的几何意义,体会复数的加减法与向量的加减法的关系.

通过复习复数除法的运算方法，回顾复数的除法转化为复数乘法运算的方法.

例题

例1.计算下列各式的值.

(1)；       (2).

(1)

分析：本题中涉及复数的加减法运算和乘法运算.计算时，先乘法运算，再加减运算.在计算复数的平方时，可直接使用完全平方公式.

解：

(2)

分析：本题的运算是两个复数的商减去另外两个复数的商.计算时，先除法运算，分别计算出两个商，再做两个商的复数的减法运算.复数除法运算的法则是分母实数化.

方法1：

解：

分析：这道题的运算还可看成是两个分式的差，分母不同，计算时，先通分，先做减法运算再做除法运算.

方法2：

解：

.

对比这两种解法，解法一更为简便.

小结：复数运算方法

例2.判断下列各题的计算过程是否正确，若有错误，请改正.

（1）；

（2）；

（3）.

分析：

（1）分母实数化时分子分母同时乘以，在计算分母时盲目套用公式，两个复数的实部相等，虚部互为相反数，这两个数才互为共轭复数， 而与虚部相等，实部互为相反数，不是共轭复数，乘积为，错误.

正确解答：

方法1：利用共轭复数的乘积为实数，实现分母实数化. 

,

方法2：对分子与分母同时乘以 ，也能使分母实数化，但是计算时要按乘法法则运算.

.

（2）在计算时，忽略了分数线的小括号功能，去括号时括号外面是负数，去括号后括号内的数应该变号,错误.

正确解答：

.（3）在实数集中，都有（），而在复数集中，仅对 有 ，本题盲目将实数集中的指数运算法则推广到复数集，错误.

正确解答：

方法1：

；

方法2：

 .

例3. 已知复数满足，则=_____ ．

分析: 观察本题条件中的等式，左边是两个复数的乘积，可以使用待定系数法设复数 ，按照复数的乘法运算法则展开，利再用复数相等的定义：且列方程组，求出复数的实部和虚部，再利用复数模的计算公式求出的模.

方法1：设 ，

 由得，

由复数相等的定义，得解得

所以.

分析：本题还可以根据复数除法的定义，把看成是复数与的商，利用分母实数化，直接计算出，再计算的模.

方法2： 由得

所以.

小结：对于由含有未知复数的等式，求解复数的问题的解题思路：

思路1：应用方程思想解题.设出复数的代数形式，再利用复数相等的定义构建方程组求出复数的实部和虚部.

思路2：变形，用已知复数把复数表示出来，根据复数的运算，直接求出复数.

例4. 已知复数满足，则的最大、最小值为     

A. 5，3    B. 6，4 C. 7，5      D. 6，5

分析：

这个问题的条件是，要求的是的最值，把它们建立联系是解题的关键.同学易于想到设，，这样可以转化为，可转化为等于.这样就把问题转化为已知，求出的最大、最小值问题.

这个问题并不简单，请同学们课下思考，提示大家：可以借助三角函数来做.

复数满足，根据复数的几何意义，复数在复平面内所对应的点组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆.根据复数几何意义， 复数对应复平面内的点,复数对应复平面内的点，表示点与点的距离.

解法1：

原点到点的距离为：，

所以， 当点、原点、点（4,3）在同一直线上时，的最大值为，最小值为.

分析：

根据复数几何意义，复数和还分别与复平面内的两个向量一一对应，可理解为这两个向量差的模，根据复数减法几何意义的不等式：，可以直接得出结果.

解法2：

，

，.

答案：.

小结：复数与复平面内的点一一对应，与复平面内的向量也一一对应.因此，可以把复数的代数形式与几何图形建立联系，数形结合解决问题；还可以把复数与平面向量建立联系，利用平面向量的性质解决问题.

例5. 若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．

分析与解答：

因为是方程的一个根，

所以 ，由此求出，；再用配方法解方程，求另一个复数根.

解法1：

因为是方程的一个根，

所以，

即，

由复数为零的充要条件得.

由方程，得，解得，

所以方程的另一个复数根．

对于实系数方程，两个虚根是成对出现的，而且互为共轭复数.

由可直接得出，再利用韦达定理求出，的值．

解法2：

因为是方程的一个根，所以，方程的另一个复数根是.

由韦达定理可得，.

小结：对于实系数一元二次方程，在复数范围内总有解.

（1）当时，方程有两个实数根；

（2）当时，方程有两个互为共轭的虚数根.

方程的两根，与系数的关系为

当一根是虚数时，另一根为其共轭复数，即. 

通过复数的四则运算过程，分析总结复数运算的方法，发展学生的数学运算素养.

总结复数运算的方法，形成程序化认识.

通过挑错的过程，巩固复，巩固复习运算方法.体会复数的运算法则和运算性质很多与实数范围内的相类似，实数范围内运算的易错点在复数运算时仍易出错. 在实数范围内成立的运算性质扩充到复数范围内时，只有经过证明才能使用.

体会方程思想在解决由含有未知复数的等式中求复数的思路.

体会通过对等式变形，直接运算也可求出复数.

通过解决特殊问题的方法归纳总结解决这一类问题的方法.

通过分析解题体会应用复数的两种几何意义转化问题的方法，发展逻辑推理素养，并体会数形结合思想.

通过分析解题，复习在复数集内求解实系数一元二次方程的方法. 同时，感受实系数一元二次方程在实数集内解的情况和在复数集内解的情况的联系与区别.

课堂小结

本节课我们一起梳理了复数运算的基本知识，包括复数的加、减、乘、除运算，和复数加、减运算的几何意义，通过运算和算理分析，感受复数运算的思维过程，发展数学运算的素养.经历运用复数运算解决复数模的问题、实系数一元二次方程的虚根问题，感受知识间的联系，体会解题过程中所蕴含的数学思想方法.复数运算的核心概念就是， 在此基础上，类比实数在数与形方面的研究过程，研究复数的运算和几何意义.人类理性思维和创新精神的共同作用促进了复数的发展，复数成为解决很多技术问题的有力工具，在物理学、工程学等领域有着广泛的应用.同学们，还想在哪些方面对复数进行探究学习呢？我想同学们会想，复数的乘法和除法的几何意义是什么？类比实数的绝对值的性质研究复数的模还有哪些性质？在复数范围内怎样研究函数？等等.

回顾本节课的学习过程，形成知识结构和方法认知，并启发学生做进一步的学习.

课后作业

1.求下列各式的值.

(1);     (2);

(3);                  (4).

2. 已知，，分别求与的最大值与最小值.

3.证明对任意复数，都成立，并算出的模.

4.已知,是方程的两个根，求的值.

复习巩固本节课所学习的内容.