人教B版高中数学必修第四册全书要点速记课件+学案

正弦定理

定理

在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则＝＝

变形

(1)(边化角)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)(角化边)sin A＝，sin B＝，sin C＝

注：R为△ABC外接圆的半径

余弦定理

定理

在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C

变形

cos A＝；cos B＝；cos C＝

三角形的面积公式

(1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)

(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝2R2·sin Asin Bsin C＝(R为△ABC外接圆的半径)

类型

一般解法

解的个数

已知两角及一边，如 A，B，a

(1)由A＋B＋C＝180°，求C；

(2)利用正弦定理求b，c

一解

已知两边和它们的夹角，如a，b，C

(1)利用余弦定理求c；

(2)利用余弦定理求角A(或B)，或利用正弦定理求A，B中的较小角(因为较小角一定是锐角)；

(3)利用三角形内角和定理求第三个角

一解

已知三边

(1)利用余弦定理求任一角；

(2)利用余弦定理求第二个角，或利用正弦定理求其余两角中的较小角；

(3)利用三角形内角和定理求第三个角

一解

已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A

法一：(1)利用正弦定理，经讨论求B；

(2)由A＋B＋C＝180°，求C；

(3)利用正弦定理求c．

法二：根据余弦定理，列出关于c的一元二次方程c2－(2bcos A)c＋(b2－a2)＝0，解方程求c，然后应用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求其余两角

两解、一解或无解

代数角度

条件

sin B＝>1

sin B＝＝1

sin B＝<1

解的个数

无解

一解

一解或两解

角的类型

A为锐角

条件

a<bsin A

a＝bsin A

bsin A< a<b

b≤a

图形

几何角度

解的个数

无解

一解

两解

一解

解的类型

A为钝角或直角

条件

a>b

a≤b

图形

解的个数

一解

无解

术语

定义

图示

铅垂平面

与水平面垂直的平面

坡角

坡面与水平面的夹角

坡比(坡度)

坡面的垂直高度与水平距离之比

视角

观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角

仰角

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角

俯角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角

方位角

从某点的指北方向线起，依顺时针方向至目标方向线间的水平夹角

类型

简图

计算方法

测量距离问题

A，B间不可达也不可视

测得AC＝b，BC＝a，∠ACB＝C，则由余弦定理得AB＝

B，C与点A可视但不可达

测得BC＝a，∠ABC＝B，∠ACB＝C，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝

C，D与点A，B均可视不可达

测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，

∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB

测量高度问题

底部可达

测得BC＝a，∠BCA＝C，则AB＝a·tan C

底部不可达

点B与C，D共线

测得CD＝a及∠ACD与∠ADB的度数．

先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值

点B与C，D不共线

测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形ABC得AB的值　

测量角度问题

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念．

解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可

分类

复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

复数

复数相等

a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d

几何意义

复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)；

复数z＝a＋bi一一对应平面向量＝(a，b)

四则运算

加法法则

(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i

减法法则

(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i

乘法法则

(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i

除法法则

＝＝＋i

乘方运算

zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z(m，n∈N＋)

运算律

交换律

z1＋z2＝z2＋z1，z1·z2＝z2·z1

结合律

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)

共轭复数的性质

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi

共轭复数＝a－bi具有如下性质：

(1)(])＝z；

(2)z＝⇔z为实数；

(3)＝­z且z≠0⇔z为纯虚数；

(4)z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2；

(5)＝±；

(6)＝·；

(7)(])＝(z2≠0)；

(8)＝()n(n∈N＋)

复数模的性质

复数z＝a＋bi的模为|z|＝|a＋bi|＝．它的几何意义是复数z在复平面内对应的点(a，b)到原点的距离

设z1，z2∈C，则有：

(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；

(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；

(3)|z1z2|＝|z1||z2|；

(4)＝；

(5)|zn|＝|z|n(n∈N＋)；

(6)|z|2＝||2＝z·

位置关系

图形表示

符号表示

公共点个数

直线与直线的位置关系

平行

m∥l

零个

相交

m∩l＝A

有且只有一个

异面

零个

直线与平面的位置关系

直线l在平面α内

l⊂α

有无数个公共点

直线l与平面α相交

l∩α＝A

有且只有一个公共点

直线l与平面α平行

l∥α

零个

平面与平面的位置关系

平面α与平面β相交

α∩β≠∅或α∩β＝l

有无数个公共点

平面α与平面β平行

α∥β

零个

直线l在平面α内

l⊂α

有无数个

几何体

图形

结构特征

多面体

棱柱

(1)有两个互相平行的面．

(2)侧棱互相平行

棱锥

(1)底面是多边形．

(2)侧面都是三角形．

(3)侧棱有一个公共顶点

棱台

(1)上、下底面互相平行，且是相似图形．

(2)侧棱的延长线交于一点．

(3)各侧面为梯形

旋转体

圆柱

(1)两个底面是大小相同的圆面，且互相平行．

(2)母线的长度相等，且互相平行

圆锥

(1)底面是圆面．

(2)母线的长度相等，且交于顶点

圆台

(1)两个底面是半径不同的圆面，且互相平行．

(2)母线的长度相等，且延长线交于一点

球

球面上任一点到球心的距离为球的半径

柱、锥、台体的侧面积

多面体

S直棱柱侧＝ch，S正棱锥侧＝ch′，S正棱台侧＝(c1＋c2)h′．其中c为棱柱、棱锥的底面周长，c1，c2分别为棱台的上、下底面周长，h为棱柱的高，h′为棱锥、棱台的斜高

旋转体

S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l．其中r为圆柱、圆锥底面半径，r1，r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线长

柱、锥、台体的体积

V柱体＝Sh，V锥体＝Sh，V台体＝(S上＋S下＋)h．其中S为柱体、锥体的底面积，S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为高

球的表面积、体积

如果球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2，体积V＝πR3

常用结论

(1)S棱柱侧＝c直截面l(c直截面，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截面l(S直截面，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)．

(2)若台体的上、下底面积分别是S上，S下，中截面的面积为S，则2＝＋

球与几何体切、接的相关结论

棱柱与球切接

(1)直棱柱内接于球，则球的直径等于直棱柱最长的对角线长；正方体内接于球，则球的直径等于正方体棱长的倍．

(2)球内切于正方体，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体棱长的倍

正四面体与球切接

棱长为a的正四面体的高为a，表面积为a2，体积为a3，外接球的半径为a，内切球的半径为a，棱切球的半径为a

空间几何体截面的特征

正棱锥

正棱锥的纵截面中存在这样的两种直角三角形，它们的各边分别为侧棱、高、底面外接圆半径(即侧棱在底面上的射影)和高、斜高、底面边心距(即斜高在底面上的射影)

正棱台

正棱台的纵截面中存在这样的两种直角梯形，它们的各边分别为侧棱、高、两底面外接圆半径和高、斜高、两底面边心距

圆柱、圆锥、圆台

圆柱的轴截面是全等的矩形，轴将轴截面分成两个全等的矩形；圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，轴将轴截面分成两个全等的直角三角形；圆台的轴截面是全等的等腰梯形，轴将轴截面分成两个全等的直角梯形

球

球心到截面的距离d、球的半径R、截面圆的半径r构成一个直角三角形，且d＝

自然语言

图形语言

符号语言

基本事实1

经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面

A∉直线BC⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

A∈α，且A∈β⇒α∩β＝a，且A∈a

推论1

经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面

点A∉l⇒l与A共面于平面α，且平面唯一

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

l1∩l2＝A⇒l1与l2共面于平面α，且平面唯一

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

直线l1∥l2⇒直线l1，l2共面于平面α，且平面唯一

自然语言

图形语言

符号语言

空间平行线的传递性

平行于同一条直线的两条直线互相平行

如果a∥b，a∥c，则b∥c

线面平行的判定定理

如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．(线线平行，则线面平行)

如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α

线面平行的性质定理

如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行．(线面平行，则线线平行)

如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m

面面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(线面平行，则面面平行)

如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β

面面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．(面面平行，则线线平行)

如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m

线面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(线线垂直，则线面垂直)

如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α

线面垂直的性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(线面垂直，则线线平行)

若m⊥α，l⊥α，则l∥m

面面垂直的判定定理

如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(线面垂直，则面面垂直)

如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β

面面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(面面垂直，则线面垂直)

如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β

空间位置关系的相互转化

其他常用结论

(1)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(平面平行的传递性)

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．

(3)如果两个平行平面中的一个垂直于一个平面，那么另一个也垂直于该平面．

(4)如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直