数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质教学设计

2.2.4　平面与平面平行的性质

Q

2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质．展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．

X

平面与平面平行的性质定理

Y

1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　C　)

A．相交　　　　　　　 B．异面

C．平行  D．平行或异面

[解析]　∵圆台的上、下底面互相平行，∴平面α与圆台的上、下底面分别相交，所得交线m与n平行．

2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是(　A　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．以上都不对

[解析]　根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行．

3．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC．

求证：AD＝BC．

[解析]　∵AD∥BC，∴AD与BC确定一个平面γ．

∵α∥β，α∩γ＝AB，β∩γ＝DC，∴AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC．

H

命题方向1　⇨对面面平行性质的理解

典例1 (1)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：

①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有(　C　)

A．1种　　　　　　　　 B．2种

C．3种  D．4种

(2)给出三种说法：

①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；

②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；

③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α．

其中正确说法的序号是__①②③__.

[解析]　(1)因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点．

当直线a与直线b共面时，a∥b；

当直线a与直线b异面时，a与b所成的角大小可以是90°．

综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形．故选C．

(2)①正确．证明如下：如图，在平面α内取两条相交直线a，b，分别过a，b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′，b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ．

②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．

③正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α．

『规律方法』　常用的面面平行的其他几个性质：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

〔跟踪练习1〕 

已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为__a⊂β或a∥β__．

[解析]　若a⊂β，则显然满足题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β．

命题方向2　⇨平面与平面平行性质定理的应用

典例2 已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D．若PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.

[解析]　因为AC∩BD＝P，

所以经过直线AC与BD可确定平面PCD．

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，

所以AB∥CD，所以＝，

即＝．

所以BD＝．

『规律方法』　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

〔跟踪练习2〕 

已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.求证：＝．

[解析]　连接AG交β于H，连BH，FH，AE，CG．

∵β∥γ，平面ACG∩β＝BH.平面ACG∩γ＝CG，

∴BH∥CG.同理AE∥HF，

∴＝＝．

Y 　对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件

典例3 如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？

[错解]　这个说法正确．

[错因分析]　忽略了AB，CD可能异面的情况．当AB，CD异面时，AC与BD不平行．

[思路分析]　AB，CD共面时，AC∥BD；AB，CD异面时，AC∥β，但AC与BD不平行．同理BD∥α，但BD与AC不平行．

[正解]　这个说法错误．

X 　转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用

典例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B．

[思路分析]　直接用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B．

[证明]　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，∴＝．

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

∴＝，∴＝，

∴NP∥CD∥AB．

∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B．

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B．

又MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B．

∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B．

『规律方法』　(1)证明线面平行的方法主要有三种：

①应用线面平行的定义；(反证法)

②应用线面平行的判定定理；

③应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”

(2)应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．

〔跟踪练习3〕 

如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：EF∥平面BB1D1D．

[解析]　(1)解法一：如下图，连接AC，CD1．

∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1．

又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1．

解法二：取AD的中点G，连接PG，GQ，

则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，

∴平面PGQ∥平面DCC1D1．

又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1．

(2)解法一：连接B1D1，取B1D1的中点O1，

连接FO1，则有FO1∥B1C1，且FO1＝B1C1．

又BE∥B1C1，且BE＝B1C1，∴BE∥FO1，且BE＝FO1．

∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D．

解法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1．

∴平面EE1F∥平面BB1D1D．

又EF⊂平面EE1F，

∴EF∥平面BB1D1D．

K

1．已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β(　D　)

A．只能作一个　　　　　　 B．至少有一个

C．不存在  D．至多有一个

[解析]　本题考查线面平行的性质．∵a是一条直线，∴a∥α或a与α相交或在平面α内．当a∥α时，β只有一个；当a与α相交或在平面α内时，β不存在，故选D．

2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(　D　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．平行、相交或异面

[解析]　分别在平面α与β上取点A，B，以A为顶点AB为母线作圆锥，在此圆锥底面圆周上取一点C，则AB与AC相交，AB＝AC，平移AC到EF，则AC＝EF，且AC∥EF，AB与EF异面．

3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N，求证：N为AC的中点.

[解析]　因为平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，

所以四边形ANC1M为平行四边形，

所以AN＝C1M＝A1C1＝AC，

所以N为AC的中点．