模块综合检测(C)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　)

A．4        B．－4

C.          D．－

2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(　　)

A．－        B.        C．2        D．6

3．设向量a＝(cos α，)，若a的模长为，则cos 2α等于(　　)

A．－        B．－        C.       D.

4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)

A.        B．2        C．4        D．12

5．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于(　　)

A．－        B.        C．－1        D．1

6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)

A．6        B．5        C．4        D．3

7．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象(　　)

A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位

8．设函数f(x)＝sin(2x＋)，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)的图象关于点(，0)对称

C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象

D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)

A．锐角        B．钝角

C．直角        D．不确定

10．已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为的偶函数

11．设0≤θ≤2π，向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量的模长的最大值为(　　)

A.        B.        C．2        D．3

12．若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为(　　)

A.        B.        C.        D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知α、β为锐角，且a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当a∥b时，α＋β＝________.

14．已知cos4α－sin4α＝，α∈(0，)，则cos(2α＋)＝________.

15．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝________.

16．若θ∈[0，]，且sin θ＝，则tan ＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－<θ<.

(1)若a⊥b，求θ；

(2)求|a＋b|的最大值．

18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若α∈(－，)，f(α＋)＝，求sin(2α＋)的值．

19．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，sin 2x)，x∈R.

(1)若函数f(x)＝1－，且x∈[－，]，求x；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在[0，π]上的图象．

20．(12分)已知x∈R，向量＝(acos2x,1)，＝(2，asin 2x－a)，f(x)＝·，a≠0.

(1)求函数f(x)的解析式，并求当a>0时，f(x)的单调增区间；

(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为5，求a的值．

21．(12分)已知函数f(x)＝sin2(x＋)－cos2x－(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；

(2)若A为锐角，且向量m＝(1,5)与向量n＝(1，f(－A))垂直，求cos 2A的值．

22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.

(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．

模块综合检测(C)

答案

1．B　[∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a<0.

∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝＝，∴a＝－4.]

2．D　[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]

3．A　[∵|a|＝＝，∴cos2α＝.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.]

4．B　[∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.

∴|a＋2b|＝2.]

5．D　[tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°

＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°

＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]

6．C　[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，

∴x＝4.]

7．A　[方法一　y＝cos(x－)＝sin(x＋)，向右平移个单位即得y＝sin(x－＋)＝sin x，故选A.

方法二　y＝sin x＝cos(x－)，y＝cos(x－)y＝cos(x－)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]

8．C　[∵f()＝0，∴A不正确．∵f()＝cos ＝≠0，∴B不正确．f(x)向左平移个单位得

f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos 2x，故C正确．]

9．A　[∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>.∴>A>－B>0.

∵函数y＝sin x，x∈(0，)是递增函数，∴sin A>sin(－B)．即sin A>cos B.

∴p·q＝sin A－cos B>0.

∴p与q所成的角是锐角．]

10．D　[f(x)＝(1＋cos 2x)＝(1－cos22x)＝－×

＝－cos 4x，∴T＝＝，f(－x)＝f(x)，故选D.]

11．D　[||＝＝≤＝3.]

12．D　[由题意知tan[ω(x－)＋]＝tan(ωx＋)，即tan(ωx＋－)＝tan(ωx＋)．

∴－ω＝kπ＋，得ω＝－6k＋，则ωmin＝(ω>0)．]

13.

解析　∵a∥b，

∴sin αsinβ－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.

∵0<α＋β<π.∴α＋β＝.

14.－

解析　∵cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝.

又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝.

∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α＝－.

15．2

解析　n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.

16.

解析　∵sin θ＝2sin cos ＝＝＝.

∴2tan2－5tan ＋2＝0，

∴tan ＝或tan ＝2.

∵θ∈[0，]，∴∈[0，]．

∴tan ∈[0,1]，∴tan ＝.

17．解　(1)若a⊥b，则sin θ＋cos θ＝0.

由此得tan θ＝－1(－<θ<)，∴θ＝－.

(2)由a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)得

a＋b＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，

|a＋b|＝＝＝，

当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，

即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.

18．解　(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，

∴T＝2π，则ω＝＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．

∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．

又0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝cos x.

(2)由已知得cos(α＋)＝.

∵α∈(－，)．∴α＋∈(0，)．

∴sin(α＋)＝.

∴sin(2α＋)＝－sin(2α＋)＝－2sin(α＋)cos(α＋)＝－.

19．解　(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋sin 2x

＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋)＋1.

由2sin(2x＋)＋1＝1－得sin(2x＋)＝－.

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，

∴2x＋＝－，即x＝－.

(2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)

得函数单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).

20．解　(1)f(x)＝2acos2x＋asin 2x－a＝asin 2x＋acos 2x＝2asin(2x＋)．

当a>0时，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝2asin(2x＋)．

当x∈[0，]时，2x＋∈[，]．

若a>0，当2x＋＝时，

f(x)max＝2a＝5，则a＝；

若a<0，当2x＋＝时，

f(x)max＝－a＝5，则a＝－5.

所以a＝或－5.

21．解　(1)f(x)＝sin2(x＋)－cos2x－

＝[(sin x＋cos x)]2－cos2x－

＝sin xcos x－cos2x－

＝sin 2x－－＝sin(2x－)－1，

所以f(x)的最小正周期为π，最小值为－2.

(2)由m＝(1,5)与n＝(1，f(－A))垂直，

得5f(－A)＋1＝0，

∴5sin[2(－A)－]－4＝0，即sin(2A－)＝－.

∵A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，

∵sin(2A－)＝－<0，

∴2A－∈(－，0)，

∴cos(2A－)＝.

∴cos 2A＝cos[(2A－)＋]＝×＋×＝.

22．解　(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．

令t＝sin x＋cos x(0<x<π)，则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t≤.

则y＝g(t)＝t2＋t－1＝(t＋)2－，－1<t≤.

∴t＝－时，y取得最小值，且ymin＝－，

此时sin x＋cos x＝－.

由于0<x<π，故x＝.

所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.

(2)∵a与b的夹角为，

∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝.

∵a⊥c，

∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0.

∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋)＋2sin 2α＝0.

∴sin 2α＋cos 2α＝0.∴tan 2α＝－.