模块综合检测(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A等于(　　)

A.        B.        C．－        D．－

2．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于(　　)

A.        B．－2        C．－7        D．3

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)

A．－16        B．－8        C．8        D．16

4．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于(　　)

A.              B．－

C.或－         D．－

5．函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　)

A．y＝－4sin

B．y＝4sin

C．y＝－4sin

D．y＝4sin

6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于(　　)

A.        B.        C．2        D.

7．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)

A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)

A.        B.        C．－        D．－

9．若2α＋β＝π，则y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是(　　)

A．7,5              B．7，－

C．5，－          D．7，－5

10．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于(　　)

A．－        B．－        C.        D.

11．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)

A．4        B．6        C．8        D．12

12．已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是(　　)

A.          B.

C.        D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．sin 2 010°＝________.

14．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.

15．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．

16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．

(1)当a∥b时，求2cos2x－sin 2x的值；

(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的最大值．

18．(12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

19．(12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．

(1)求sin θ和cos θ的值；

(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．

20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值．

21．(12分)已知函数f(x)＝.

(1)求f(－π)的值；

(2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α.

模块综合检测(A)

答案

1．D　[∵cos2A＋sin2A＝1，且＝－，

∴cos2A＋(－cos A)2＝1且cos A<0，

解得cos A＝－.]

2．D　[∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．

∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)．

∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0

∴k＝3.]

3．D　[·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝16.]

4．B　[∵sin(π－α)＝－2sin(＋α)

∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.

∴sin αcos α＝＝＝＝－.]

5．A　[由图可知，A＝4，且

，解得.

∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．]

6．B　[由cos 30°＝得

＝＝

∴a·b＝，故选B.]

7．C　[y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)，

∴只需将函数y＝sin x的图象向左平移个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋)的图象．]

8．A　[由于＝2，

得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

结合＝＋λ，知λ＝.]

9．D　[∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α

＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α

＝2sin2α－6sin α－1＝22－

当sin α＝1时，ymin＝－5；当sin α＝－1时，ymax＝7.]

10．B　[a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin(α＋)－＝0，

∴sin(α＋)＝.

∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.]

11．B　[将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．]

12．C　[

建立如图所示的直角坐标系．

∵＝(2,2)，＝(2,0)，

＝(cos α，sin α)，

∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．

过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.

∵||＝2，∴||＝||＝||，

知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.

∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.]

13．－

解析　sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.

14．1

解析　∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.

∴cos2θ＝，

∵θ为锐角，∴cos θ＝，

∴θ＝，∴tan θ＝1.

15.

解析　＝(2,2)，＝(－1,3)．

∴在上的投影||cos〈，〉＝＝＝＝.

16．sin(＋)

解析　据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图象过点(2，－)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)．

17．解　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，

∴tan x＝－，

2cos2x－sin 2x＝＝＝.

(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)．

∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，

∴－1≤sin(2x＋)≤，

∴－≤f(x)≤，

∴f(x)max＝.

18．(1)解　因为a与b－2c垂直，

所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得

|b＋c|＝＝≤4.

又当β＝－时，等号成立，

所以|b＋c|的最大值为4.

(3)证明　由tan αtan β＝16得＝，所以a∥b.

19．解　(1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，

即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，

∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.

又θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.

(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，

∴cos φ＝sin φ.

∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.

又∵0<φ<，∴cos φ＝.

20．解　(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.

所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋.

由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋，

所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.

当0≤x≤时，≤4x＋≤，

所以≤sin≤1.

因此1≤g(x)≤.

故g(x)在区间上的最小值为1.

21．解　(1)f(x)＝＝＝

＝＝2cos 2x，

∴f(－)＝2cos(－)＝2cos ＝.

(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)．

∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．

∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.

22．解　(1)∵|a|＝1，|b|＝1，

|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，

|a－b|2＝()2＝，

∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝.

(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.

由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，

由sin β＝－得cos β＝.

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×(－)＝.