巩固练习_直线、平面垂直的性质_基础

【巩固练习】

1．下列说法中正确的是（    ）

①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．

A．①②③   B．①②③④     C．②③    D．②③④

2．设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（    ）

A．过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交

B．过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直

C．过a一定可作一个平面与b垂直

D．过a一定可作一个平面与b平行

3．已知平面、、，则下列命题中正确的是（    ）

A．，，则

B．，，则

C．，，，则a⊥b

D．，，a⊥b，则b⊥

4．给出下列四个命题：

①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．

其中正确的是（    ）

A．①③    B．②③    C．②③④    D．④

5．已知平面与平面相交，直线m⊥，则（    ）

A．内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．内不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直

C．内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D．内必存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直

6．以等腰直角△ABC斜边BC上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（    ）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（    ）

A．AC    B．BD    C．A1D    D．A1D1

8．如图，在四面体A—BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（    ）

A．1    B．    C．    D．2

9．平面平面，且，则和的位置关系是          ．

10．平面四边形，为平面外一点，则、、、中最多有   

个直角三角形．

11．（2016 山东临沭县期末）将正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A—BC—C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；③AB与CD所成的角90°；④二面角A—BC—D的平面正切值是

其中正确结论是________．（定出所有正确结论的序号）

12．已知平面⊥平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且AC⊥l，BD⊥l，AB=3，AC=6，BD=2，则CD的长为________。

13．（2016 房山区模拟）在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AC⊥BC，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上．

（1）当N为BC的中点时，证明：DN∥平面PAC；

（2）求证：PA⊥平面PBC．

14．如图，在正三棱柱中，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

15．（2015年 高邮市模拟）如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点。

（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

（2）求证：A1B∥平面ADC1。

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】 过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确．

2．【答案】D

【解析】 A不正确，若点P和直线a确定平面，当b∥时，满足条件的直线不存在；C不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面．

3．【答案】B

【解析】 如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，

平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面A1D1D相交．

C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1=D1B1，

平面AA1D1D∩平面AB1D1=AD1，

平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，

而AB1与AD1不垂直；

D中，b不定在平面β内．

4．【答案】D

【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若，，则或，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．

5．【答案】C

【解析】 若内存在直线n与m平行，则知，从而，但与相交却不一定垂直，又设，由知m⊥a，从而内必有直线与m垂直．

6．【答案】C

【解析】 如图，由题可知CD=BD=AD，∠BDC=90°，则 ，所以∠ABC=60°．

7．【答案】B

【解析】 BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．

8．【分析】利用线面垂直的性质得到AB⊥CD，结合CD⊥BC利用线面垂直的判定得到CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，可求AD。

【答案】C

【解析】∵AB⊥平面BCD，CD面BCD，∴AB⊥CD，

又CD⊥BC，∴CD⊥面ABC，∴CD⊥AC，

又AB=BC=CD=1，∴

∴。

故选C。

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；要证线面垂直，只要证明线线垂直。

9．【答案】  

【解析】 设，，，，又，．

10．【答案】4  

【解析】连接，当这四条线段中有一条垂直于平面，且平面四边形是矩形时，这4个三角形都是直角三角形．

11．【答案】①②④

【解析】取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，

∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．

设折叠前正方形的边长为1，则，∴

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，

∴．

∴△ABC是等边三角形，故②正确．

取BC中点F，AC中点G，连结EF，EG，则EF∥CD，FG∥AB，

∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，，，，

∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误．

∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为三面角A—BC—D的平面角．

∵AE⊥EF，∴，故④正确．

故答案为：①②④．

12．【分析】连接BC，得△ACB为直角三角形，BC=5，由BD⊥l，得BD⊥BC，由此以求出CD。

【答案】7

【解析】连接BC，∵AC⊥l，∴△ACB为直角三角形，

∴，

又∵BD⊥l，，，，

∴BD⊥，∴BD⊥BC。

在Rt△DBC中，。

故答案为：7

【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空想思维能力的培养，属于中档题。

13．【证明】（1）∵D为AB的中点，N为BC的中点，

∴DN∥AC，

∵DN平面PAC，AC平面PAC，

∴DN∥平面PAC．

（2）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴BC⊥平面PAC，

∵PA平面PAC，∴PA⊥BC，

∵PA⊥PC，PC∩BC=C，

∴PA⊥平面PBC．

14．证明：（1）如图，

        正三棱柱，

         又，平面，

        平面．

       （2）正三棱柱，

        平面．

又平面，

是等边三角形，且是的中点，

又

平面

又平面

平面平面．

15．【分析】（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出。

（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证明A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得。

证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形，进而可得平面A1BD1∥平面ADC1，再利用线面平行的判定定理即可证得结论。

【证明】（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD平面ABC，

所以AD⊥平面BCC1B1。

因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1。

（2）（证法一）

连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点。

因为D为BC的中点，所以OD∥A1B。

因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1。

（证法二）

取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，则。

所以四边形BDC1D1是平行四边形，所以D1B∥C1D。

因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，

所以D1B∥平面ADC1。

同理可证A1D1∥平面ADC1。

因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，

所以平面A1BD1∥平面ADC1。

因为A1B平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1。

【点评】本题考查了线面垂直的和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键。遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形。