专题十七直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质（A卷·基础巩固）-【中职专用】高二数学同步单元测试AB卷（高教版·基础模块下册）

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质

（A卷·基础巩固）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　）

A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α        B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α

C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α      D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α

【答案】A

【解析】根据线面垂直的判断定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A错误，C正确；根据线面平行的判断定理可知，平面外的线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故BD正确，故选：A．

2．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A. 也有可能相交，所以该选项错误；B. 则或相交或异面，所以该选项错误；C. 则或，所以该选项错误；D. ，所以该选项正确，故选：D．

3．在长方体的各条棱所在直线中与直线垂直的直线有（       ）条．

A．2 B．4条 C．6条 D．8条

【答案】D

【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条，故选：D.

4．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（       ）

A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面

【答案】C

【解析】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行，故选：C.

5．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（       ）

A．有1个          B．有2个            C．有无数个           D．不存在

【答案】C

【解析】已知l⊥α，由面面垂直的判定定理可得过l与α垂直的平面有无数个，故选C.

6．已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是（          ）

A．     B．    C．     D．

【答案】D

【解析】选项A、C：如图所示，不能推出，故A错误；不能推出，故C错误；选项B、D：如图所示，不能推出，故B错误；

，故D正确，故选：D.

7．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（       ）

A．         B．         C．l与相交但不垂直           D．l与m为异面直线

【答案】B

【解析】根据面面垂直的性质，知：，，，，则有，故选：B.

8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且满足，∥，则下列说法一定正确的是（        ）

A．         B．∥           C．若，则∥            D．若，则

【答案】A

【解析】对于AB，由于∥，所以由线面平行的性质可知在内有一组线与平行，而，所以在内与平行的直线出垂直于，所以，所以A正确，B错误，对于C当时，∥或，异面，C不一定正确；对于D，当时，直线与平面不一定垂直，所以D错误，故选：A.

9．如图，在四面体中，平面，，若，则（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】因为，，所以，又平面，平面，所以，因此，故选：C.

10．设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.  其中正确命题的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】对于①，，则 的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为 ，所以过直线作平面与平面 相交于直线 ，则c，因为 ,, ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；故本题正确答案选：

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的         直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.

【答案】两条相交

【解析】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直，故答案为：两条相交.

12．若直线平面，直线，则与的位置关系是            ．

【答案】垂直

【解析】若直线平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线，又直线，所以，故答案为：垂直．

13．在四面体中，平面 ，，则其四个面中直角三角形的个数为             .

【答案】4

【解析】如图所示四面体中，平面 ，，为直角三角形，平面，平面，为直角三角形，四面体中，四个面中都是直角三角形，故答案为:4.

14．平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是            .             

【答案】垂直

【解析】如图:因为四边形为平行四边形,所以点为和的中点，因为,所以，因为,所以，因为平面,平面，且，所以平面，故答案为:垂直.

15．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件          时，有m⊥β．

【答案】②④

【解析】平面，和直线，给出条件：①；②；③；④，由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出．

即②④是的充分条件，满足条件②④时，有，故答案为：②④．

16．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则          .

【答案】

【解析】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴.

17．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥，其中正确的命题是           .（写出所有正确命题的编号）

【答案】④

【解析】对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误；对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误；对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误；对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的，故答案为：④.

18．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件           时，有.（只需填写一种正确条件即可）

【答案】(答案不唯一)

【解析】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意，故答案为：.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）如图所示，在平面内，且于，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：∵，∴，又∵，，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴．

20．（6分）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只写结果，不要求证明）．

【答案】面面，面面，面面．

【解析】解：∵面，面，面，∴面面，面面，∵面，∴，又，即，又，∴面，又面，

∴面面，综上，有：平面底面，面面，面面．

21．（8分）．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.

求证：（1）EF平面PAD； （2）面PBD面PAC.

【答案】证明见解析

【解析】证明：（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点，则且，又底面ABCD是菱形，，，又平面PAD，平面PAD， EF平面PAD.

（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，，，且平面PAC，平面PAC，又因为平面PBD，所以面PBD面PAC．

22．（8分）．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．

【答案】证明见解析

【解析】证明：E，F分别是棱，的中点，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△ Rt△，所以△，因为，所以，所以，即，又因为正方体中，平面,平面，所以，和平面EAB内的两条相交直线，所以平面EAB．

23．（8分）在三棱锥中，分别为的中点，且.

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，证明：．

【答案】证明见解析

【解析】证明:(1)因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，

所以平面；

(2)因为，为的中点，，又平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，所以．

24.（10分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

【答案】(1)证明过程见解析；(2)

【解析】(1)证明：因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

(2)解：因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为．