高一数学必修2导学案全册导学案及答案(118页)

这是一份人教版新课标A必修2本册综合优质导学案，共119页。学案主要包含了学习目标，学习重点，使用说明及学法指导，知识链接，学习过程，达标测试，小结与反思等内容，欢迎下载使用。

 高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、学习目标：
1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：
学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:
平行四边形：
矩形：
正方体：
五、学习过程：
A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？


A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？




B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？





C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？


C问题5：质疑答辩，排难解惑
1． 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）

2． 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F


B例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？



六、达标测试
A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ）
A．正方体 B．正四棱锥 C．长方体 D．直平行六面体
B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．3cm2
B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）
A．必须都是直角三角形 B．至多只能有一个直角三角形
C．至多只能有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.


七、小结与反思：

【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。






高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
1.1.2圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征
一、学习目标：
1、知识与技能：能根据几何结构特征对空间物体进行分类。会用语言概述圆柱、锥、台、组合体的结构特征。会表示圆柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，同时提高观察能力。培养空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：
学习重点：感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、锥、台的结构特征。
学习难点：圆柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:
棱柱：
棱锥：
棱台：
五、学习过程：
A问题1：观察下列图形探究各自的特点及共同点




A问题2：什么是圆柱、锥、台？有何特征？如何表示？



A问题3:什么是球？有何特征？如何表示？



A问题4：什么叫简单组合体？简单组合体构成的两种基本形式是一： ；二： 。
A例1：底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ A


B
A例2：已知球的半径为10cm，一个截面圆的面积是cm2，则球心到截面圆圆心的距离是 .
六、达标测试
A1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）





A B C D
A2、下列说法正确的是 （ ）
A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心
A3、下列说法正确的个数为 （ ）
① 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形
② 连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线
③ 圆柱的任意两条母线互相平行
A．0 B.1 C.2 D.3
A4、下列几何体的轴截面一定是圆面的是 （ ）
A．圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台
B5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( )
A.8:27 B.2:3 C.4:9 D.2:9
B6、A、B为球面上不同两点，则通过A、B所有大圆的个数 （ ）
A.1个 B.无数个 C. 一个也没有 D.1个或无数个
B7、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.




七、小结与反思：


【励志良言】“三心二意”另解：信心、恒心、决心；创意、乐意。










5 高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
1.2.1空间几何体的三视图
一、学习目标：
知识与技能：（1）掌握画三视图的基本技能;（2）丰富空间想象力
过程与方法：主要通过亲身实践，动手作图，体会三视图的作用
情感态度与价值观：（1）提高空间想象力（2）体会三视图的作用
二、学习重点、难点：
学习重点：画出简单组合体的三视图
学习难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:
圆柱：
圆锥：
圆台：
五、学习过程：
A问题１:什么是投影、投影线、投影面？


投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
A问题2:什么是中心投影、平行投影？


物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
A问题3.
(1).光线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 叫做几何体的正视图.
(2).光线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 叫做几何体侧视图.
(3).光线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 叫做几何体的俯视图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

A例１.根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并观察三种图形之间的关系．




三视图的画法规则: 、 、 。
A例２.请您画出圆柱、圆锥、圆台、球的三视图








六、达标测试
A1、两条相交直线的平行投影是 （ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．两条平行线 D．两条相交直线或一条直线
A2、如果一个几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为 （ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
B3、课本15页1.、2、3、4题









七、小结与反思：




【励志良言】当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。








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1.2.2空间几何体的直观图
一、学习目标：
知识与技能：（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
过程与方法：通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
情感态度与价值观：（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、学习重点、难点：
学习重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。
学习难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。
三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:
正视图：
侧视图：
俯视图：
五、学习过程：
A例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。










画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
B例2.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体的直观图。






B例3.课本P1８图1.2-１３，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。












六、达标测试
A1、利用斜二测画法得到的下列结论正确的是 （ ）
①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
B2、已知正三角形ABC的边长为，那么它的平面直观图的面积为











七、小结与反思：





【励志良言】生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。



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空间几何体结构 周测试
一、选择题：（50分）
1、在棱柱中 （ ）
A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
2、下列说法错误的是 （ ）
A：由两个棱锥可以拼成一个新的棱锥 B：由两个棱台可以拼成一个新的棱台
C：由两个圆锥可以拼成一个新的圆锥 D：由两个圆台可以拼成一个新的圆台
3、下列说法正确的是 （ ）
A：以直角三角形的一边为轴旋转而成几何体是圆锥
B：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C：以直角梯形的一腰为轴旋转成的是圆台
D：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面圆的半径
4、下列关于长方体的叙述不正确的是 （ ）
A：长方体的表面共有24个直角
B：长方体中相对的面都互相平行
C：长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离：
D；两底面间的棱互相平行且相等的六面体是长方体
5、将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）

6、如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是 （ ）


A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、4
7、如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 （ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1Bl＝1，AB＝2，BlCl＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．AlBl＝1，AB＝2，B1Cl＝1.5，BC＝3，AlCl＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
8、有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；
其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）
9、下列命题中错误的是（ ）
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
10、图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（ ）







二、填空题（20分）
11、如图，长方体ABCD—A1BlClD1中，AD＝3，AAl＝4，AB＝5，则从A点沿表面到Cl的最短距离为___ ___．
12、在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为___ __．






13、高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是__ ____．






14如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合； ②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合； ④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是__ __．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）





三、解答题（30分）
15、（15分）长方体的全面积是11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长？










16、（15分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。
（1）用x表示圆柱的轴截面面积S；（2）当x为何值时，S最大？









【励志金语】在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。

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1.3.1空间几何体的表面积和体积
一、学习目标：
知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积。
过程与方法：通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。
情感态度与价值观：培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力。
二、学习重点、难点：
学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式。
学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。
三、 使用说明及学法指导:
掌握并理解公式，熟练运用公式，培养空间想象能力。
四、知识链接:
柱、锥、台体的基本特征：





五、学习过程：
A问题1：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？


例1：已知棱长为，各面都是等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积？



A问题2：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？


例2：如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1 ）？









A问题3：柱体、锥体、台体的体积如何计算？（分别写出计算公式）



例3：有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7．8g/）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？




A问题4：组合体的表面积和体积如何计算？

六、达标测试
A1、正方体的全面积为24 cm2，则它的体积是 （ ）
A．4cm3 B．16cm3 C．64cm3 D．8cm3
A2、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（ ）
A．1:3 B．1:1 C．2:1 D．3:1
A3、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ）
A． B． C． D．8
A4、在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
A5、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体表面积及体积为：（ ）
6
5

A ， B ，C ， D 都不正确
B6、中，，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为____________
B7、已知棱台的上下底面面积分别为，高为,则该棱台的体积为___________

七、小结与反思：

【励志良言】当你只有一个目标时，全世界都会给你让路。

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1.3.2球的体积和表面积
一、学习目标:
知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，
情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:
学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、小班完成A,B,C全部内容；实验班完成B级以上；平行班完成A~B.（其中A、B级问题自主完成；C级问题可由合作探究方式完成）
四、知识链接:
什么是球？
球的半径？
球的直观图怎样画？
球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？
五、学习过程:
B问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）




B问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？



A例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；
A例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.







B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)








六、达标训练
一、选择题
A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）
A. B. C. D.

B2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的
一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）






A B C D
B3正方体的全面积为,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）
A.; B.; C.; D..
B4已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
二、填空题
A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的 倍.
B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm3.
B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。
B8、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
B9、正方体的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
B10、一个直径为厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高厘米则此球的半径为_________厘米
三、解答题
B11、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。








七、小结与反思


【心灵鸡汤】行动和不满足是进步的第一必需品！




















高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
空间几何体习题课
一、学习目标
知识与技能：了解柱体，锥体，台体，球体的几何特征，会画三视图、直观图，能求表面积、体积。
过程与方法：通过旋转体的形成，掌握利用轴截面化空间问题为平面问题处理的方法。会画图、识图、用图。
情感态度与价值观：培养动手能力，空间想象能力，由欣赏图形的美到去发现美，创造美。
二、学习重、难点
学习重点：各空间几何体的特征，计算公式，空间图形的画法。
学习难点：空间想象能力的建立，空间图形的识别与应用。
三、使用说明及学法指导:结合空间几何体的定义，观察空间几何体的图形培养空间想象能力，熟记公式，灵活运用.
四、知识链接1.回忆柱体、锥体、台体、球体的几何特征。2.熟记表面积及体积的公式。
五、学习过程
题型一：基本概念问题
A例1：（1）下列说法不正确的是（ ）
A：圆柱的侧面展开图是一个矩形 B：圆锥的轴截面是一个等腰三角形 C： 直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D：圆台平行于底面的截面是圆面
（2）下列说法正确的是（ ）A：棱柱的底面一定是平行四边形 B：棱锥的底面一定是三角形C： 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D：棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
题型二：三视图与直观图的问题
B例2：有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对

B例3：一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
题型三：有关表面积、体积的运算问题
B例4：已知各顶点都在一个球面上的正四柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （ ）
A B C 24 D 32
C例5：若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 （ ）
(A) (B) (C) (D)
题型四：有关组合体问题

例6：已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）





10

20

10


20
20
20

俯视图
侧视图
正视图


Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
六、达标训练
1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）
A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台
2、一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
3、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧
面，则两圆锥体积之比为 （ ）
A．3∶4 B．9∶16 C．27∶64 D．都不对
4、利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是 （ ）
A．①②　　 B． ①　　　 C．③④　　 D． ①②③④
5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )





俯视图
主视图
左视图

A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对
6、如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（ ）
A. cm B. cm2
C. 12 cm D. 14 cm2

7、若圆锥的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为
8、将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积



9、 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积









10、（如图）在底半径为2母线长为4的 圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积











七、小结与反思



【至理名言】没有学不会的知识，只有不会学的学生。







高一数学必修2导学案 编制人: 审核人: 编号
2.1.1平面
一、学习目标:
知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
过程与方法：通过共同讨论，增强对平面的感性认识；归纳整理本节所学知识
情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、学习重、难点
学习重点: 1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
学习难点:平面基本性质的掌握与运用。
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。
四、知识链接:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？



五、学习过程:
A问题1、平面含义



A问题2、平面的画法


A问题3、平面的表示
平面通常用希腊字母（ ）等表示，如（ ）等，也可以用表示平面的平行四边形的（ ） 来表示，如（ ）等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（ ）
A问题４、点与平面的关系·B
：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：
点B在平面α外，记作：
A例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 √ ，否则打 × :
1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2）、平面有边界； ( )
3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )
5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
A问题5如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l 与平面α有两个公共点呢？

A问题6公理1：
符号表示为


公理1作用：判断直线是否在平面内
B问题C
·
B
·
A
·
α
7公理2：
符号表示为：

公理2作用：确定一个平面的依据。
注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.
“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.
B问题P
·
α
L
β
8公理3：

符号表示为：
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
B例题教材P43 例1



六、达标训练
B课本P43 练习1、2、3、4
①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？
②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？
为什么？
④用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线L
⑷直线L 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；
⑸直线L 是平面α和β的交线，直线m在平面α内, 和m相交于点P.
七、小结与反思
1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示






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2.1.2空间直线与直线的位置关系1
一、学习目标:
知识与技能：1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 。2．理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
过程与方法：培养空间想象力。
情感态度与价值观：通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。
二、学习重、难点
学习重点:异面直线的概念、公理4
学习难点:异面直线的概念
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接:平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，同一平面内两条直线有几种位置关系？相交直线——有且仅有一个公共点平行直线——在同一平面内，没有公共点
五、学习过程:
A 问题1空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？

观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？
A
B
A’
B’
C’
D’′′′′
C
D
思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？






A问题2：归纳总结 ，形成概念
异面直线:




A问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：
B问题4判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?





1 2 3



4 5 6
B问题5辨析
①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线
②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线
③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线
④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线
⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线
A例1：如图2.1.2-1，在正方体中,
哪些棱所在的直线与成异面直线? 　　　　　　　　　　图2.1.2-1 B问题6如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？

A问题7．思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
观察：如图2.1.2-2,长方体中,
AA1∥, AA1∥，那么与平行吗?
A问题8．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
=>∥c
符号表示为：设、b、c是三条直线
∥b
b∥c
注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
A例2：如图在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。



B变式练习：
(1)在例2中, 如果再加上条件,那么四边形是什么图形?
(2) 把条件改为: E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且
则四边形是什么图形?为什么?
六、达标训练
A1．设直线、b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则、b的位置关系是
B2．如图2.1.2-3，在长方体中，

（1）若E、F分别是AB、BC的中点，则EF和A1C1的位置关系是

（2）若E是AB的三等分点，F是AB、BC的中点，则EF和A1C1的位置关系是




（1） 图2.1.2-3 （2）
A3 P51习题2.1A组第6题
B4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面
B5.已知、b是异面直线，c∥，那么c与b（ ）
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
七、小结与反思：
（1）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）
（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平行又不相交）
（3）什么是平行公理?它的作用是什么?
（平行同一条直线的两条直线互相平行作用：判断两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行问题）




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2.1.3空间直线与直线的位置关系2
一、学习目标
知识与技能：1.异面直线所成的角的定义2.等角定理，3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
过程与方法：培养空间想象力。
情感态度与价值观：1.提高空间想象能力和作图能力。、2.增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。
二、学习重、难点
学习重点:异面直线所成的角
学习难点:找出或作出异面直线所成的角
三、学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接:
1.异面直线：
2.空间中两条直线的位置关系有三种：
3公理4：
五、学习过程
A问题1在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？



观察：如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,∠ADC与
∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?

A问题2：（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，（ ）
A问题3：异面直线所成的角的定义:

异面直线所成的角的范围：
注：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
B问题4: 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?



注：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)
B例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。（3）哪些棱所在的直线与直线A1B垂直？
B例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，1。A1B1与C1C所成的角 2。AD与B1B所成的角
3.A1D与BC1所成的角 4.D1C与A1A所成的角 5.A1D与AC所成的角


C例3在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且
已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角.




B问题5求异面直线所成的角的一般步骤是：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）；
③求角（解三角形）；④结论。
六、达标训练
B1. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（  ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.    （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （   ）    
B2．选择题
（1）两条直线,b分别和异面直线c,d都相交，则直线，b的位置关系是（  ）
 （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(  )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
B3.正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？




七、小结与反思：
异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求
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2.1.4直线与平面、平面与平面的位置关系
一、学习目标:
知识与技能：掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面、平面与平面的位置关系
过程与方法：学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系
情感态度与价值观：进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力
二、学习重、难点
学习重点: 直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法
学习难点: 直线与平面、平面与平面的位置关系的判断
三、学法指导: 通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
小班实验班完成全部，平行班80%以上
四、知识链接：1、空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.推理模式：．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5..异面直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
6..异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点O作直线'//,'//，', '所成的角的大小与点O的选择无关，把', '所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角
7.异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作
五、学习过程：问题1：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，
可能有几种位置关系？
问题2：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面
所在平面有几种位置关系？

结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：


问题3：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?




问题4：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？

问题5：围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?


问题6：平面与平面的位置有几种？分别用文字、图形、符号语言表示？
例1(见P49)下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面a内，则L∥a
(2)若直线L与平面a平行，则L与平面a 内的任意一条直线都平行
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若直线L与平面a平行，则L与平面a内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
例2 已知直线在平面α外，则 （ ）
（A）∥α （B）直线与平面α至少有一个公共点
（C） （D）直线与平面α至多有一个公共点
六、达标检测：
A1..以下命题（其中，b表示直线，a表示平面）
①若∥b，bÌa，则∥a ②若∥a，b∥a，则∥b
③若∥b，b∥a，则∥a ④若∥a，bÌa，则∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
A2.已知∥a，b∥a，则直线，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
B3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是，则直线AB和平面a的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）ABÌa
B4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
B5..下列说法正确的是 ( )
A．直线平行于平面M，则平行于M内的任意一条直线
B．直线与平面M相交，则不平行于M内的任意一条直线
C．直线不垂直于平面M，则不垂直于M内的任意一条直线
D．直线不垂直于平面M，则过的平面不垂直于M
B6.平面的公共点多于2个，则 （ ）
A. 可能只有3个公共点
B. 可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上
C. 一定有无数个公共点
D.除选项A，B，C外还有其他可能
七、小结与反思：
教师寄语 ：一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。


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2.2.1直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
一、学习目标:
知识与技能: 理解并掌握直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的判定定理.
过程与方法：掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高逻辑推理能力。
情感态度价值观: 培养认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践―理论―再实践”的科学研究方法。
二、学习重、难点
学习重点:掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理.
学习难点:理解直线与平面平行的判定定理. 理解平面与平面平行的判定定理.
三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.
4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升
四、知识链接
1、直线与平面有哪几种位置关系？
（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内。
2、判断两条直线平行有几种方法？
(1)三角形中位线定理；(2)平行四边形的两边；(3)平行公理；(4)成比例线段。
3、平面与平面之间的位置关系:
(1) 两个平面平行------没有公共点
(2) 两个平面相交------有一条公共直线
若α、β平行,记作β∥α
五、学习过程：
一、直线与平面平行的判定
实例探究：
1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？
2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
学习过程 自主探究
A问题1:如图,1 ．直线与直线b共面吗？

2．直线与平面a 相交吗？

A问题2: 直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是
(1) 在平面a外，即a(面外)
(2) 在平面a内，即a(面内)
(3) 与b平行，即∥b(平行)
符号语言:
思 想: 线线平行线面平行
A判断对错:直线与平面α不平行，即与平面α相交． （   ）
直线∥b，直线b平面α，则直线∥平面α．  （  ）
直线∥平面α，直线b平面α，则直线∥b．  （   ）
A例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点。
A
B
C
D
E
F
求证：EF∥平面 BCD










要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线，将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行
B练习1:如图，三棱柱ABC－中，M、 N分别是BC和的中点，求证:MN∥平面
C1
A
C
B1
B
M
N
A1

要证明直线与平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，把证明线面问题转化为证明线线问题．
二、平面与平面平行的判定
A自主探究问题3:（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
A问题4: 平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：若。
利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件:
（1）有两条直线平行于另一个平面，（2）这两条直线必须相交。
思想：线线相交，线面平行面面平行。
A判断对错:
(1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
A例2、 已知正方体ABCD-,求证：平面//平面。









证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
A
B
D
C
P
H
F
M
G
N

B练习2:如图：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，
（1）求证：平面MNG//平面ACD；
（2）求







六、达标训练
A1.直线∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a 平行的（ ）
（A）至少有一条 （B）至多有一条
（C）有且只有一条 （D）不可能有
A2.已知三条互相平行的直线,,则两个平面的位置关系是 .
A3.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是

B4、正方体中，E为的中点，判断与平面AEC的位置关系，并给出证明。








七、小结与反思：
线面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行 线面平行
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。





【金玉良言】在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在智慧的珍珠里,有勤奋的心血闪光.



















高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
2.2.2直线与平面、平面与平面平行的性质
一、学习目标:
知识与技能：理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题
过程与方法：能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理
情感态度与价值观：通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法
二、学习重、难点
学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用
学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法，
三、学法指导及要求:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题
四、知识链接：
1.空间直线与直线的位置关系
2.直线与平面的位置关系
3.平面与平面的位置关系
4.直线与平面平行的判定定理的符号表示
5.平面与平面平行的判定定理的符号表示
五、学习过程：
A问题1：
1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
（观察长方体）
2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？
（可观察教室内灯管和地面）
A问题2: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？
A问题3：如果一条直线与平面α平行,在什么条件下直线与平面α内的直线平行呢？
由于直线与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线的某一平面，若与平面α相交，则直线就平行于这条交线
B自主探究1：已知：∥α，β，α∩β＝b。求证：∥b。





直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言：
线面平行性质定理作用：证明两直线平行
思想：线面平行线线平行
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？








例2：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。







问题5：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？
自主探究2:如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b








平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言：

面面平行性质定理作用：证明两直线平行
思想：面面平行线线平行
例3 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等
已知：，，，求证：。





六、达标检测：
A1.61页练习
A2.下列判断正确的是(    )
A．∥α，，则∥b B．∩α＝P，b α，则与b不平行
C．，则a∥α D．∥α，b∥α,则∥b
B3．直线∥平面α，P∈α，过点P平行于的直线(    )
A．只有一条，不在平面α内  B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内  D．有无数条，一定在α内
B4.下列命题错误的是 （ ）
A. 平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B. 平行于同一个平面的两个平面平行
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 平行于同一个平面的两条直线平行或相交
B5. 平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H、分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD、上，又EF∥BD，则 （ ）
A. EH∥BD,BD不平行与FG
B. FG∥BD，EH不平行于BD
C. EH∥BD，FG∥BD
D. 以上都不对
B6.若直线∥b，∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是
B7一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面


七、小结与反思：





金玉良言：世界上最残忍的不是野兽，不是刽子手，而是时间；因为时间不等人，时间不留情。














高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
2.3.1直线与平面垂直的判定
一、学习目标:
知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法；
过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。
二、学习重、难点
学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用
三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升
四、知识链接：
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
五、学习过程：自主探究
一、直线与平面垂直的判定
1、线面垂直的定义
A问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？
A问题2、直线与平面垂直的定义
α
l
P
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α. 直线 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
符号语言： 图形语言:


思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直
A思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若，则
2、直线与平面垂直的判定定理
D
B
A
C
A问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
D
C
B
A



（图1） （图2）
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A问题4、直线与平面垂直的判定定理。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
l
α
m
n
p
符号语言： 图形语言:


思想: 直线与直线垂直直线与平面垂直
例1有一根旗杆高，它的顶端挂一条长的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离是，那么旗杆就和地面垂直，为什么？


A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

















A 问题5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？


A例2：如图5，已知，则吗？请说明理由。






小结:判断直线与平面垂直的方法
(1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面即，则
3、直线与平面所成的角
问题6: 斜线:
斜足:
斜线在平面上的投影:
直线和平面所成的角:
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4)
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
例3: 在正方体中,求:
(1)直线和平面ABCD所成的角
(2)直线和平面所成的角



▲ 小结：直线和平面所成角的步骤
①作图—找出或作出直线在平面上的射影
②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角
六、达标检测:
1直线与平面a内的两条直线都垂直，则直线与平面a的位置关系是
（A）平行 （B）垂直 （C）在平面a内 （D）无法确定
2对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d那么这样的直线b有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条

3．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
求证：EF⊥平面GMC．





4．已知：空间四边形，，，
求证：








七、总结评价：
直线与平面垂直的判定方法
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平面垂直

学后反思、自查自纠：
要求：
1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。
2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。可查阅课本和相关资料。
【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.















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2.3.2平面与平面垂直的判定
一、学习目标:
知识与技能：正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。
二、学习重、难点
学习重点: 平面与平面垂直的判定；
学习难点: 如何度量二面角的大小。
三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升
四、知识链接：
直线与平面垂直的定义：

直线与平面垂直的判定定理：

直线与平面所成的角：

五、学习过程：自主探究
一、二面角的定义
问题1:
半平面：

二面角：

二面角的表示:

二面角的平面角:

二面角的平面角∠AOB的特点：
(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。
特别指出：
①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0，）；
②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；
③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的
直二面角:
规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。
例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为，求二面角A-BD-C的大小。



二、两个平面互相垂直
两个平面互相垂直：

两个互相垂直的平面画法：

平面与β垂直，记作：

定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言:

图形语言:


思想:线面垂直面面垂直
判断对错:
1.如果平面内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则⊥β.（ ）
2.如果平面内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则⊥β.（ ）
3.如果平面内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则⊥β.（ ）
例2、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
探究1、四面体P-ABC的四个面的形状是怎样的?
探究2、有哪些直线和平面垂直？
探究3、有哪些平面相互垂直？
求证：平面PAC^平面PBC



关键:找与平面垂直的线.
例3：如图P为ΔABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：⑴平面PAB⊥平面PBC；⑵平面AEF⊥平面PBC；⑶平面AEF⊥平面PAC。



六、达标检测
1．过平面外两点且垂直于平面的平面 （ ）
有且只有一个 不是一个便是两个
有且仅有两个 一个或无数个
2．若平面平面，直线，,，则 （ ）
且
与中至少有一个成立
3．对于直线和平面，的一个充分条件是 （ ）
，

4．设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若是在内的射影，，则；
③若，则； ④若，则．　其中真命题是（ ）
①② ②③ ①③ ③④
5：已知平面α∩平面β=直线，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b，求证:(1) ⊥γ；(2)b⊥γ．
  
   


七、总结评价：
本节课我们讲了二面角的概念，二面角平面角的定义。两个平面垂直的定义、画法及判定方法. 判定方法有两种，一是利用定义二是利用判定定理，如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键。
学后反思、自查自纠：
要求：1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。
2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。可查阅课本和相关资料。

【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.


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2.3.3直线与平面垂直的性质
一、学习目标：
1.知识与技能
（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.
（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
2.情感态度与价值观
（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力 ，培养学生的质疑思辨、创新的精神.
（2）让学生亲自从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律.
二学习重、难点
1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
三、学法指导及要求:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C完成60％以上。
四、知识链接：
直线与平面垂直的判定定理符号语言：


平面与平面垂直的判定定理符号语言：


线面角：

二面角：

五、学习过程：
问题1:如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？


b


问题2：已知：，b。求证：b∥
直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言



作用：线面垂直线线平行
合作探究: 设直线,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b∥,、b应满足什么条件？





问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？






问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D’中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？







问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。







六、达标训练：
A1. 71页练习1.2



A2. 73页练习1.2





A3. 直线b直线，直线b平面，则直线与平面的关系是（ ）
A. ∥ B C 或∥ D
P
H
E
F
B4．已知PH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连结PE、PF，
则图中直角三角形的个数是 （ ）
A 1 B 2
C 3 D 4
B5．已知直线、b和平面M、N，且，那么 （ ）
（A）b∥Mb⊥ （B）b⊥b∥M
（C）N⊥M∥N （D）
B6.下列命题中，正确的是（　）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若,b异面，过一定可作一个平面与b垂直
D、,b异面，过不在,b上的点M，一定可以作一个平面和,b都垂直.
七、小结与反思
直线与平面、平面与平面垂直的性质定理
线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

【励志良言】世界上不可能的事情，是想出来的；世界上可能的事情，是做出来的。












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2.3.4平面与平面垂直的性质
一、学习目标：
知识与技能:使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解决一些简单问题；了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
过程与方法:让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；性质定理的推理论证。
情感态度与价值观:通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、学习重、难点
重点：平面与平面垂直的性质及其应用。
难点：掌握两个平面垂直的性质及应用．
三、学法指导及要求:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C完成60％以上。
四、知识链接：
直线和平面垂直的性质定理:


两个平面垂直的判定定理：

二面角的定义：

五、学习过程：
问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？





问题2：如图，长方体ABCD－A'B'C'D'中，平面A'ADD'与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？





探究1:如图，设α⊥β，α∩β＝CD，ABÌα，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我们看直线AB与平面β的位置关系。




归纳得到平面与平面垂直的性质定理:
定理　两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。



想一想:用符号语言如何表述这个定理?



可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直，平面与平面垂直性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，这种直线与平面的的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形的重要思想方法。


探究2：
1.若两个平面垂直，过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线?这条直线与这个平面有何关系?可作多少条这样的垂线?




2.练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（　）
A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
问题3：思考：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？








例1:如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线满足⊥β，Ëα，试判断直线与平面α的位置关系。








探究3：已知平面α，β，直线，且α⊥β，α∩β＝AB，∥α，⊥AB，试判断直线与平面β的位置关系？



六、达标检测：
A1．P73练习1,2题
A2．下列命题中，正确的是（　）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若,b异面，过一定可作一个平面与b垂直
D、,b异面，过不在,b上的点M，一定可以作一个平面和,b都垂直.
B3.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,请说明理由










七、小结与反思
请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
类比这两节课学过的两个性质定理，你发现它们之间有何联系？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m






高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
《空间线面、面面关系》习题课1
一、学习目标:
知识与技能：掌握线线、线面、面面关系的判断和性质；
过程与方法：应用线线、线面、面面关系的判断和性质关系来进行判断、证明和计算；提高解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过对线线、线面、面面关系的观察与理解培养空间想象力，提高思维的严密性与完整性。
二、学习重、难点
学习重点: 空间线线、线面、面面关系。
学习难点: 空间线线、线面、面面关系的应用，线面角，二面角的计算平行、垂直的证明。
三、使用说明及学法指导:
1、先认真梳理空间线线、线面、面面关系等知识点，巩固线面角，二面角的计算方法和步骤，熟悉平行、垂直的证明，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法，及时整理在解题本上，多复习强化记忆。
四、知识链接：1.空间线线关系：平行，相交，异面。2.线面关系：线在面内 ，线面相交，线面平行。3.面面关系：平行，相交。2.线面平行的判定、性质；面面平行的判定、性质；线面、面面垂直的判定、性质等定理。3.各种角如何计算。
五、学习过程：自主探究：题型一：有关线线、线面、面面关系的概念问题
例1：A1给出下列四个命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的直线不是平行就是异面，
③如果直线a∥α，b∥α，则a∥b
④如果平面α∩平面β＝a，若b∥α，b∥β，则a∥b
其中为真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A2平面α∥平面β，直线aÌα，P∈β，则过点P的直线中（ ）
A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线
C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线
3下列命题中为真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行．
题型二：有关线面、面面关系的判定与性质问题
B例2如图6－79，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC=a, F，G分别是EB和AB的中点。
求证：FG平面ABC；FD//平面ABC。





B例3如图，,的中点.M、N分别为AB、PC的中点
（1）求证：；（2）求证：；







题型三：异面直线角、线面角、二面角的问题
A例4：正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是…………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
B例5：如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面 C1—BD—C的大小为（ ）
（A）300 （B）450 （C）600 （D）900




C例6：四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成角的正切值。







六、达标检测
A1,给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；
④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d
其中假命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A2,经过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（ ）

50
A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个
B3,经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ ）
A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个
B4,已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
B5,已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d，lÌα，l′Ìβ,则l与l′之间的距离的取值范围为（ ）
A．（d，∞） B．（d，＋∞） C．{d} D．（0，∞）
A6,在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN___________
A7 过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为__________．
B8,已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A与β相交于B，若，则直线a与α所成的角＝___________．
B9, 已知点A、B到平面α的距离分别为d与3d，则A、B的中点到平面α的距离为________．
B10,已知长方体中，，，，
求：（1）与所成的角是多少？
（2）与所成的角是多少？




B11,P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，
证明：直线PC与平面ABD垂直




C12,如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
A
B
C
P
E
F
（2）求二面角P—BC—A的大小；






七、小结与反思



51

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
《空间线面、面面关系》习题课2
一、学习目标:
知识与技能：掌握线线、线面、面面关系的判断和性质；
过程与方法：应用线线、线面、面面关系的判断和性质关系来进行判断、证明和计算；
情感态度与价值观：通过对线线、线面、面面关系的观察与理解培养空间想象力，提高思维的严密性与完整性。提高解决问题的能力。
二、学习重、难点
学习重点: 空间线线、线面、面面关系。
学习难点: 空间线线、线面、面面关系的应用，线面角，二面角的计算平行、垂直的证明。
三、使用说明及学法指导:
1、先认真梳理空间线线、线面、面面关系等知识点，巩固线面角，二面角的计算方法和步骤，熟悉平行、垂直的证明，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、对各类学生提出明明确要求
四、知识链接：
1.空间线线关系：平行，相交，异面。
线面关系：线在面内 ，线面相交，线面平行。
面面关系：平行，相交。
2.线面平行的判定、性质；面面平行的判定、性质；线面、面面垂直的判定、性质等定理。
3.各种角如何计算。
五、学习过程：自主探究：题型一：有关线线、线面、面面关系的概念问题
例1：A1,若直线平面，直线，则与的位置关系是 ( )
A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点
A2,下列命题正确的是（ ）
图4




A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
A． ； B．； C．； D．
题型二：有关线面、面面关系的判定与性质问题
B例2: 如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1





题型三：异面直线角、线面角、二面角的问题
B例3:已知：平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，AC与ＢD为异面直线，AC＝6，ＢD＝8，AＢ＝CD＝10，AＢ与CD成60°的角，求AC与ＢD所成的角．






B例4:已知正方体，是底对角线的交点.
图５
（１）求证： 平面；（2 ）求证：面；（3）求二面角B-AB1-C的正切值。










六、达标检测
A1.下列命题中，正确的是( )
A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行
A2.给出四个命题：①线段AB在平面内，则直线AB不在内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为 ( )A、1 B、2 C、3 D、4
A3.已知正方体，则直线与平面所成的角是 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
A4. ，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若∥M，b∥M，则∥b；②若bM，∥b，则∥M；③若⊥c，b⊥c，则∥b；④若⊥M，b⊥M，则∥b.其中正确命题的个数有 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B5.在四棱锥A-BCDE中，AB⊥底面BCDE，且BCDE为正方形，则此四棱锥侧面与底面中互相垂直的面有（ ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
B6.点p在平面ABC上的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是△ABC的 ( )
（A） 内心 （B） 外心 （C） 垂心 （D） 重心
B7.已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是 .
B8.正方体中，平面和平面的位置关系为 ；直线与直线所成角的大小是 ；
C9.a、b是两个不同的平面，m、n是平面a及b之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②a⊥b；③n⊥b；④m⊥a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .
B10,如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF有一条公共边CD ,
M
A
B
C
D

F
M为FC的中点 , 证明: AF // 平面MBD.









A
B
C
C1
B1
A1
D
B11.如图，正三棱柱ABC--中，D是BC的中点，AB = a .
（1） 求证：
（2） 判断AB与平面ADC的位置关系，并证明你的结论




C12.如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为，则侧棱长为2，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面周长的最小值和这时E,F的位置.






七、总结评价：
【金玉良言】勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。


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3.1.1直线的倾斜角与斜率
一、学习目标:
知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.
过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、学习重、难点
学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.
学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接：
1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）
2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）
3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）
五、学习过程：问题的导入：
大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.
A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）
B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？
（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？
A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！
当直线L与x轴垂直时,


A问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？



B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）
【温馨提示】（1）

（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论.
（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.
B问题6：阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）
典型例题：
A例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB、BC、CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.




B例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L1、L2、L3、L4



六、达标训练：
A1.如图，图中的直线、的斜率分别为k1, k2 ,k3,则( )
A. k1< k2 A2、若经过P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ ）
A、1 B、4 C、1或3 D、1或4
A3、若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ ）
A、1 B、－1 C、0 D、7
B4、直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）
A、45° B、135° C、45°或135° D、－45°
C5、△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.
C6、若经过点P（1－，1＋）和Q（3，2）的直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.

七、小结与反思1，掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系，会进行倾斜角、斜率的有关运算.
【励志良言】日出唤醒大地，读书唤醒头脑

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直线的倾斜角与斜率习题课
一、学习目标:
知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。
过程与方法：通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系，实现用代数方法解决几何问题
情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、学习重、难点
学习重点:两条直线平行和垂直的判定，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接：
1.直线的倾斜角的范围：
2. 直线的斜率：
3. 过P（，）和Q（，）的直线的斜率公式： 当=时，直线斜率
4.k=0时，直线 x轴或与x轴 ；k>0时，直线的倾斜角为 ，k增大，直线的倾斜角也 ；k<0时，直线的倾斜角为 ，k值增大，直线的倾斜角也 。
5. l1∥l2 ,;l1⊥l2
五、学习过程：
题型一：已知两点坐标求直线斜率
经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率
（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)

题型二：求直线的倾斜角
设直线L过坐标原点，它的倾斜角为，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转，得到直线L1那么L1的倾斜角为 ( )
A. B. C.
D.
变式：已知直线L1的倾斜角为，则L1关于x轴对称的直线L1的倾斜角=
题型三：斜率与倾斜角关系
当斜率k的范围如下时，求倾斜角的变化范围：

题型四：利用斜率判定三点共线
已知三点A（a,2），B（5,1），C（-4,2a）在同一条直线上，求a的值。





题型五：平行于垂直的判定
已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三点，求点D的坐标，使直线且CB//AD.





题型六：综合应用
已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（2，-1）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围







变式：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能够成三角形，求实数k的取值范围。








六、达标训练：
A1.下列命题正确的个数是 ( )
1) 若a是直线L的倾斜角，则 2）若k是直线的斜率，则
3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角
A．1 B.2 C.3 D.4
A2.直线L过, 两点，其中则 （ ）
A.L与x轴垂直 B. L与y轴垂直 C.L过原点和一，三象限 D.L的倾斜角为
B3.已知点,直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为 （ ）
A.1 D.不存在
B4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a，斜率为k，则 （ ）

A5.已知直线L的倾斜角为，则此直线的斜率为 。
B6.若三点共线，则a=
C7.已知四边形ABCD的顶点为,求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。












七、小结与反思



【励志良言】成功的人找方法，失败的人找借口；要成功就没有借口，要借口就不可能会成功。












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3.2.1直线的点斜式方程
一、学习目标
1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。
3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
四、知识链接:
1．直线倾斜角的概念
2. 直线的斜率
两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
五、学习过程：
A问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

B问题2、直线经过点，且斜率为。设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。
A 问题3、（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程（1）
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？

B问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？


B问题5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？







A问题7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。

B问题8、观察方程，它的形式具有什么特点？

B问题9、直线在轴上的截距是什么？

B问题10、你如何从直线方程的角度认识一次函数？
一次函数中和的几何意义是什么？你能说出一次函数图象的特点吗？




B例2.直线。试讨论：（1）平行的条件是什么？
（2）垂直的条件是什么？


六、达标测试






B5.过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．(易错题)
C6.经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。









七、小结与反思









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3.2.2直线的两点式方程
一、学习目标:
知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：
1、 重点：直线方程两点式。2、难点：两点式推导过程的理解。
三、使用说明及学法指导:
注意逐字逐句仔细审题，认真思考阅读教材、独立规范作答。牢记直线方程的表达形式及解题方法规律。平行班完成学案AB类问题.
四、知识链接：
过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程
它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
斜截式方程： 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
五、学习过程：
A问题1、利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线经过两点,求直线的方程.
（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程。




由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程.
B问题2、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？


例1已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。


B例2 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。



六、达标检测：











小结（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

七、小结与反思





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3.2.3直线的一般式方程
一、学习目标：
1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法： 学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、使用说明及学法指导:
注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答。牢记直线方程常见的几种形式，比较各种直线方程的形式特点和适用范围,多复习记忆。平行班完成学案的AB 类题目.
四、知识链接：点斜式方程：
斜截式方程： 两点式：
五、学习过程：
B问题１（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？





我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式
B问题2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
C问题3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。




A例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。




A例2把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。






C问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？




六、达标检测：
第９９页A练习第１，２，３
习题３.２A组１，１０.









小结
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？


七、小结与反思
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3.3.1两条直线的交点坐标
一、学习目标:
知识与技能：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。
过程与方法：通过两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。掌握数形结合的方法。
情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系。能够用辩证的观点看问题。
二、学习重点、难点：
学习重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。
学习难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。
三、使用说明及学法指导:
1、先阅读教材102—103页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（会解二元一次方程组）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。
四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？
2．平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？
五、学习过程：自主探究
(一) 交点坐标：
A问题1已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0如何求它们的交点坐标呢？



A例1、求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0 l2：2x＋y＋2＝0





A例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:
l1：x－2y+2=0， l2：2x－y－2=0.




合作交流：C例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。





A1x＋B1y＋C1+λ（A2x＋B2y＋C2）=0是过直A1x＋B1y＋C1=0和A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程。
(二)利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
B问题2已知方程组 A1x＋B1y＋C1=0 （1）
A2x＋B2y＋C2= 0 （2）
当A1，A2，B1，B2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系？



B例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
（1）l1：x－y＝0，　　　　 l2：3x＋3y－10＝0
（2）l1：3x－y＋4＝0，　　l2：6x－2y＝0
（3）l1：3x＋4y－5＝0，　 l2：6x＋8y－10＝0




六、达标检测
A1.教材109页习题3.3A组1,2,3 




B 2. 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。





B3求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程







七、小结与反思：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系
【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。



高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
3.3.2点到直线的距离
一、学习目标:
知识与技能：让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；
过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；
情感态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验
二、学习重点、难点：
学习重点: 点到直线距离公式及其应用．
学习难点: 发现点到直线距离公式的推导方法．
三、使用说明及学法指导:
1、先阅读教材106—108页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其两点间的距离公式及点到直线的距离公式牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。
四、知识链接：1．两点间的距离公式
特别的：原点O与任一点P（x,y）的距离
2．平面内点与直线的位置关系有几种？
五、学习过程：自主探究
A问题1：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+C=0，求点P到直线的距离．


A问题2：已知点P(x0，y0)，直线l：By+C=0，求点P到直线的距离．


B问题3：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．



A例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2; ③2y+3=0的距离。




A问题4：两条平行直线间的距离的定义


A问题5：设直线l1∥l2，如何求l1与l2之间的距离？


B例2已知直线,l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－l＝0，ll与l2是否平行？若平行求ll与l2间的距离。
由上面的例题可知，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，取点时可考虑取x轴上的点或y轴上的点，运算可以简便点。
B问题6：求与两平行线间距离公式

B例3已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积





六、达标检测：A1.点P(3,-2)到直线 的距离为


B2.两条平行线 与 间的距离是


B3.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．


 B4.直线经过原点，且点M(5,0)到直线 l 的距离等于3，求l 的方程


B5．直线l 过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l 的距离相等，求l 的方程

C6△ABC的一个顶点是A（3，-1）， ∠B, ∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。


七、小结与反思 掌握点到直线距离公式；会用点到直线距离求两平行线间的距离；

教师寄语 ：一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。




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直线的交点坐标与距离公式 习题课
知识与技能：掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标。掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。
过程与方法：利用数形结合，结合思维变式对学生培养方法选择能力
情感态度与价值观：(1)培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2)进一步理解数形结合思想，培养树立辩证统一的观点，培养形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
学习重点:直线的交点求法及距离公式的应用
学习难点:综合应用以及思想渗透
学法指导及要求:
1、重审教材，形成知识脉络。2、将直线的交点坐标与距离公式习部分曾做过的学案自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，按照本习题课的要求进行重整。3、加强自主学习、审慎合作探究、着重能力提升。
知识链接：
1、如果已知平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
2、两相交直线的交点的坐标
3、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离为
4、已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1=C2).则l1与l2之间的距离为：

基本类型问题概要
题型一：两点间距离公式的运用
已知三角形的顶点A（-1，5）B（-2，-1）C（4，7）求BC边上的中线长。




题型二：点到直线距离的应用
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线l的方程。




题型三：对称问题 求直线y=-4x+1关于点M（2，3）对称的直线方程。





题型四：直线方程的应用
求经过直线l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l₃：3x-5y+6=0的直线l的方程
题型五：直线过定点问题及应用
1由“y-y0=k(x-x0)”求定点
把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0,y0）
2由“l1+λl2=0”求定点
在平面上如果已知两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则过l1、l2交点的直线系方程是：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0其中λ为参数，并简写为l1+λl2=0.
根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l1+λl2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由解得。

达标训练
（　　）A 1. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是：
Ａ．4 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（　　）B 2. 入射光线线在直线：上，经过轴反射到直线上，再经过轴反射到直线上，则直线的方程为：
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（　　）A 3. 若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是：
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（　　）B 4. 直线经过一定点，则该定点的坐标为：
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A 5. 设点在直线上，且到原点的距离与到直线的距离相等，则点坐标是　　　　　　．
B 6. 已知中，，，点在直线上，若的面积为，则点坐标为　　　　　　．
B 7. 直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为，求直线的方程．

B 8. 一直线过点，且点到该直线距离等于，求该直线倾斜角．






A 9. 求经过两直线：和：的交点，且与直线：垂直的直线的方程．





B 10. 试求直线：，关于直线：对称的直线的方程．






B 11. 直线与直线，分别交于点，，若的中点是，求直线的方程．





B12.已知，，在轴上找一点，使，并求的值；



小结与反思：




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直线的方程习题课
一、学习目标
1、知识与技能：（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．
2、过程与方法：在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观; （1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：
（1）重点：直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．
（2）难点：直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．
三、 使用说明及学法指导:
1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。4、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:
1、求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.
2. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及适用范围。










3、两条直线的位置关系







注：与直线Ax＋By+C=0 平行的直线的方程是Ax＋By+m=0
　　与直线Ax＋By+C=0 垂直的直线的方程是Bx－Ay+n=0
五、学习过程：
A例1.(点斜式) 直线在轴上的截距为3，且倾斜角的正弦值为，求直线的方程。


注：1.求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在内，从而有两个解。
2.在求直线方程时,不论选取何种方法,最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.
A例2(截距式. 斜截式. 两点式)已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程.






A例3. (注意直线方程的设法) 求经过两条直线和的交点，且分别与直线（1）平行，（2）垂直的直线方程。






C例4.(对称问题)已知点A的坐标为(－４，４），直线的方程为3＋－2＝0，求：
(1)点A关于直线的对称点A′的坐标；
(2)直线关于点A的对称直线的方程.


练习:一条光线从点P(6,4)射出,与X轴相交于点Q(2,0),经X轴反射,求入射光线和反射光线所在的直线方程.(书101页11)

六、达标测试
A1.下面命题中正确的是………………（ ）
A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.
B.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程表示
D.经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
A2.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A. B. C. D.－2，－3
A3．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）
（A）2x－3y＝0; （B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5或x－y＋5＝0
A4.与直线l：3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( )
（A）3x＋4y－5＝0 （B）3x＋4y＋5＝0
（C）－3x＋4y－5＝0 （D）－3x＋4y＋5＝0
A5.点关于直线x+y=0对称的点是（ ）
A、 B 、 C、 D、
A6.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为（ ）
（A）－ （B）－3; （C） （D）3
B7.方程(－1)x－y+2+1=0(∈R)所表示的直线 ( )
A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3)
C.恒过点(－2,3)和点(2，3) D.都是平行直线
A8.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是（　　　）
Ａ　3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
A9.已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是 。
A10.的三个顶点分别为，，．求边上中线所在的直线方程


总结评价
学后反思、自查自纠：
【励志良言】当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。


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4.1.1圆的标准方程
一、学习目标
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方
程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：
学习重点: 圆的标准方程
学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:
1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。2、不会的，模棱两可的问题标记好。3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上
四、知识链接：
1．两点间的距离公式？
2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.
五、学习过程：(自主探究)
A问题1阅读教材118页内容，回答问题
已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？



问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

例1：1写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2 + y2 = 6 (2) (x+1)2+(y-2)2= 9
(3)
例2：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，判断是否在这个圆上。



问题3点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？
例3△ABC的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程




例4已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.



注：比较例3、例4可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：
1.根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
六、达标检测
1、已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、
Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？


2、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。


3、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。


4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程.


C5. 求过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切的圆的方程：



七、小结与反思
①圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明
②圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
③求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a，b，r；
【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。

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4.1.2圆的一般方程
一、学习目标:
知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索。
二、学习重点、难点：
学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定 方程中的系数D、E、F．
学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材121---123页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆. 3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接：圆的标准方程： 圆心;半径：r.
五、学习过程：问题的导入：
问题1: 方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？

问题2：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？

问题3：什么是圆的一般方程？

问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

典型例题:
例1：求过三点O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程



例2：已知：线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在（x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。




变式：已知一曲线是与两个定点O（0,0），A(3,0)距离比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。

六、达标检测
1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圆，则k的取值范围 ( )
A k>3 B C -23或k<-2
2,方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
3,动圆的圆心的轨迹方程是　　　 .
4,如果实数满足等式，那么的最大值是________。
5,求下列各题的圆心坐标、半径长
（1）x2+y2-6x=0

(2) x2+y2+2by=0
(3) x2+y2-2x-2y+32=0
6,下列各方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0

(2)x2+y2-2x+4y-6=0

(3) x2+y2+2x-b2=0




7,已知圆C：x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程










七、小结与反思 掌握圆的一般方程的形式，理解其特点，能确定出圆心坐标和半径。
【励志良言】知识改变命运，勤奋造就人生！



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4.2.1直线与圆的位置关系
一、学习目标:
1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法。
3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、学习重、难点:
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．
三、学法指导及要求
1、认真研读教材126---128页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）
3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B级完成70％～80％C级力争完成60％以上。
港口
轮船
四、知识链接
1、点和圆的位置关系有几种？
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则
点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 d 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2 d=r,
点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2 d>r.
问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70KM处,受影响的范围是半径为30KM的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响?
五、学习过程
A问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
A问题2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
A问题3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？



B问题4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？











六、达标检测
A1. 1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）
A. 4 B. C.5 D. 5.5
A2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
B3、直线l: 与圆x2+y2=1的关系是（ ）
A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定
B4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是_______
B5.已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值


七、小结与反思
【教师寄语】长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 ！




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4.2.2圆与圆的位置关系
一、学习目标:
知识与技能:（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．
过程与方法:用类比的思想研究圆与圆的位置关系，进一步将这些直观的事实转化为数学语言。
情感态度与价值观:通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想．
二、学习重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、学法指导及要求：
1、认真研读教材129---130页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其是：圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B级完成70％～80％C级力争完成60％以上。
四、知识链接
1.直线与圆的位置关系:
相离、相交、相切
2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
(1)根据圆心到直线的距离；
(2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；
3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)



如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，我们将进一步探究.
五、学习过程
A问题1：圆与圆的位置关系
两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？


B问题2:判断圆和圆的位置关系的方法
(1)几何法


(2)代数法

B问题3:已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如何？



B例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.








六、达标测试
A1、判断下列两圆的位置关系：
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0




B2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交，求实数m的范围
A3、已知以（-4,3）为圆心的圆与x2+y2=1 相切，求圆C的方程.


C4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。



C5、求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 条。




七、小结与反思
【励志金语】不经一番风霜苦，哪得梅花放清香！







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4.2.3直线与圆的方程的应用
一、学习目标:
知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、学习重点、难点：
学习重点:直线与圆的方程的应用．
学习难点:直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材130---132页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，便于复习记忆. 3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.
四、知识链接:
1,回忆各种直线方程的形式，说清其特点及不足。
2，圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心（a,b);半径：r.
3，你能说出直线与圆的位置关系吗？
五、学习过程
问题的导入：
问题1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗？
直线与圆的方程的应用是非常广泛的，下面我们看几个例子
典型例题
1．标准方程问题：
例1:圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。
2.轨迹问题：例2:过点A(4,0)作直线L交圆O:x2+y2=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程



3.弦长问题：例3: 直线L经过点(5,5)，且和圆x2+y2=25相交，截得的弦长为, 求直线L的方程。



4.对称问题：例4:求圆关于点对称的圆的方程.



5.实际应用问题
例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20cm，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).



6.用代数法证明几何问题
例6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.








六、达标检测
A1，求直线:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长
B2，圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
B3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程
B4，某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？







C4，等边△ABC中，D,E分别在边BC,AC上，且∣BD∣=∣BC∣,∣CE∣=∣CA∣,AD,BE相交于点P,求证：AP⊥CP


七、小结与反思
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；用坐标法解决平面几何问题.
【励志金语】我的未来我把握，我的人生我设计！

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
圆的习题课
一、学习目标:
1、知识与技能:使学生掌握圆的各种方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程， 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，熟悉直线与圆，圆与圆的关系并能应用。
2、过程与方法:能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程，用转化法求轨迹 。
3、情感态度与价值观:能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识。
二、学习重点、难点：
学习重点:圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系及应用。
学习难点:圆的方程的应用。
三、使用说明及学法指导:
认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系等重要知识点，数形结合、分类讨论，待定系数法等思想方法。要通过解题积累经验，总结方法，融会贯通。
四、知识链接:
1、圆的标准方程 ：
2、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
3、点和圆的位置关系：
设圆C∶，点M到圆心的距离为d，则有：
(1)d＞r点M在圆外；(2)d=r点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．
4、直线和圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有
（1）直线l与⊙O相交 <=>dd=r（3）直线l与⊙O相离 <=>d>r。
五、学习过程
典型题精炼：1. 如何判断点与圆的位置关系？
例题1：已知点P(-2, 4)和圆C, 试判断点P和圆C的位置关系.


练习：点P(-4, 3)和圆的位置关系是（ ）
A. P在圆内 B. P在圆外 C. P在圆上 D. 以上都不对
2. 如何判断直线与圆的位置关系？
例题2:当a(a >0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2- 2ax+2y+a2-a+1=0 相切，相离，相交？




练习：圆 和3x-4y=9的位置关系是（ ）

A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
3、直线与圆的交点弦长：
例题3:已知圆的方程是x2+y2 =2，它截直线y= x+1所得的弦长是
4、如何判断圆与圆的位置关系？
例题4：圆C1: x2+y2- 6y=0和圆C2: x2+y2- 8x+12=0的位置关系如何？


5、求圆的方程的常用方法：
例5：(1). 一个圆经过点P( 2,-1 ), 和直线x- y =1相切，并且圆心在直线 y=- 2x上，求这个圆的方程.
(2). 已知两点 A( 4 , 9 ) 和B( 6 , 3 )两点, 求以AB为直径的圆的方程.

练习： (1). 圆C的圆心为 ( 2 , -1 ) ，且截直线 y = x- 1 所得弦长为 2 , 求圆C的方程.








6、求圆的切线的常见形式：
例6： (1). 求过点P( -3 , 2 )，与圆x2+y2=13相切的直线方程.
(2). 求过点P( -5 , 9 )，与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13相切的直线方程.
(3). 设圆的方程x2+y2=13，它与斜率为的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.





7、求最值问题：已知实数 x , y 满足方程x2+y2-4x+1=0.
（1） 求的最大值和最小值； （2）求y-x的最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.







【课后反思】
【教师寄语】宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

高一数学必修2导学案答案

【答案01】棱柱、棱锥、棱台的结构特征
问题1 ：若干个平面多变性能够围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
问题2：一个平面图形绕它旋转所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。
问题3：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与地面的公共顶点叫做棱柱的顶点。四棱柱表示为棱柱AC′,按边分三、四、五棱柱。按侧棱分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。四棱锥表示为棱锥S-ABCD按边分三、四、五棱锥，按底面多边形分正棱锥，一般棱锥。
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
四棱台表示为棱台ABCD-A′B′C′D′按边分三、四、五棱台，按底面多边形分正棱台，一般棱台。
问题4：四棱柱（底面变成平行四边形）→平行六面体（侧棱与底面垂直）→直平行六面体（底面为矩形）→长方体（底面为正方形）→正四棱柱（侧棱与底面边长相等）→正方形。
问题5：
（1）不一定是，例：
（2）不是，如五棱柱等
例1：是
例2：3个

达标检测：1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.

【答案02】圆柱、锥、台、球、组合体的结构特征
问题1：它们都是旋转体
问题2：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，不垂直与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。表示圆柱OO′。
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。表示为圆锥SO。
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。表示为OO′。
问题3：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。表示为球O。
问题4：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体；一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而形成。

例1解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成平面图形（矩形）,连接AB′
则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离
AB′=
例2：8cm B B′
达标训练：
1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.8倍
【答案03】空间几何体的三视图
问题1：由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。
问题2：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。
问题3：光线从几何体的前面向后面的正投影等到的投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面的正投影等到的投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面的正投影等到的投影图叫做几何体的俯视图。
例1：见教材12页
长对正，高平齐，宽相等。
例2：见教材13页
达标训练：
1.D 2.C
【答案04】空间几何体的直观图
例1：见教材16页
例2：见教材17页
例3：见教材18页
达标训练：1.A 2.
【答案05】空间几何体结构 周测试
1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A11. 12. 13.B 14. ②④

16．（1）解：设所求圆柱的底面半径为r，则


（2）当x=3时，
【答案06】空间几何体的表面积和体积
问题1: 棱柱的侧面展开图是由多个长方形组成的平面图形. 棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成的平面图形. 棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形.所以棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。
例1：分析：我们知道四面体的展开图是由四个全等的正三角形所组成的；那么我们就解：问题2：
例2：解：由圆台的表面积公式得花盆外壁的表面积

问题3：
例3：解：六角螺帽的体积是六棱住体积与圆柱体积的差，即

螺帽的个数为
达标训练：1.D 2.D 3.D 4.D 5.A 6. 7.28


【答案07】球的体积和表面积
知识链接:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
半圆的半径在球体中分别叫做球的半径.设球的半径为R，截面圆半径为r，球心与截面圆圆心的距离为d，则R、r、d三者之间的关系
问题1:答案见教材32页
问题2:
例1：见教材27页

例2:
变式1: 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是

达标测试:
1----4 CBBD5. 8 6. 7. 8. 9. 1:3
10. 12　　11.

【答案08】空间几何体习题课
例1. (1)C (2)D例2. A 例3. D 例4. C 例5. B 例6. B
达标测试: 1---6 CADBA
7. 8. 9. 10.
【答案09】平面
问题1. 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面,黑板面,海面都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
D
C
B
A
α
问题2. 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）



问题3. 平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
α
β
α
β
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画








问题4.
例1、× × × × √
问题5. 不一定 一定
问题6.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
L

A
·
α
A∈L
B∈L => L α
A∈α
C
·
B
·
A
·
α
B∈α
问题7.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
问题8.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P
·
α
L
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
达标:
①三点确定一个平面②是,根据公理2③不一定
⑴
⑵
⑶
⑷ (5)

【答案10】空间直线与直线的位置关系1
问题1.共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。
思考. 通过观察思考后发现：直线AB′与直线CC′既不平行也不相交，还不共面。即不在同一平面内。
问题2. 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
共面直线：
问题3: 相交：同一平面内，有且只有一个公共点
平行：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
问题4. 1 . 2. 3. 5.是异面直线
问题5. 1和5对
例1. AD、DC、、、、
问题6.AB与GH AB与CD EF与GH
问题7.有 平行
例2. （考虑到学生第一次接触空间四边形，先结自制模型简单介绍什么叫空间四边形，再分析如何证明）
分析：如何判定一个四边形是平行四边形？
怎样证明EH∥ FG？证明关键是什么？
证明：如图,连结BD．
∵E、H 分别是AB、AD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴ EH∥ BD,
同理, FG∥ BD,
∴ EH∥ FG,且EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形。
变式练习:菱形 梯形
达标:1.相交或异面 2(1)平行(2)异面4. D 5. C

【答案11】空间直线与直线的位置关系2
知识链接1: 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
2.平行,相交,异面
3.平行于同一条直线的两条直线互相平行。
=>a∥c
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
b∥c
问题1.从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1 ∠ADC +∠A1B1C1=180O
问题2.那么这两个角相等或互补
问题3.A
B
G
F
H
E
D
C
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.
O




在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a′
O
b′

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]
问题4. 这个角的大小与O点的位置无关.
例1. 解：（1）与直线成异面直线有AD、CD、、、、
（2）∵∥∴是异面直线和所成的角易求得所成的角为45
例2. 、、、、例3.
达标:1.(1)(3)(6)对(2)(4)(5)错2.A 3.D 4.

【答案12】直线与平面、平面与平面的位置关系
问题1.问题2.结论. 直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内――有无数个公共点；）
（2）直线与平面相交――有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行――没有公共点;
问题3.4. 见教材49页
问题5.6 见教材50页
例1 B 例2. D
达标1---6ADCCBC

【答案13】直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
实例探究：平行
问题1.(1) a与b共面于(因为a∥b) (2) 不可能相交
判断对错: ×××
例1. 证明：连接BD
因为AE=EB,AF=FD,
所以EF//BD
EF平面BCD, BD平面BCD
由直线与平面平行的判定定理得
EF//平面BCD
练习1. 证明：设中点为F,连结NF，FC
∵N为中点∴NF∥又∵BC∥,M是BC的中点，
∴MC∥∴NFCM为平行四边形∴ MN∥平面
问题3.不一定平行
判断对错: ××√

例2. 证明：因为ABCD-为正方体，
所以 ，
又，所以 ，
，所以为平行四边形。
所以 。又,,
由直线与平面的判定定理得，同理，又
，所以平面。
练习2: 证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
则有：
连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。
解：由（1）可知，
∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD
同理：NG＝AC，MN＝CD，
∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，
∴＝1：9
达标1.C
2.平行或相交3.平行4.平行.证明略

【答案14】直线与平面、平面与平面平行的性质
A问题1：1）平行或异面2）过这条直线做一个平面与原平面相交，交线即是。
A问题2: 异面或平行
A问题3： 由于直线a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线
B自主探究1：已知：a∥α，aβ，α∩β＝b。求证：a∥b。
证明：由a∥α，知a与α无公共点，又因为a与b在同一平面β内，
则a∥b
例1： (1)过p画一条直线与B′C′平行，即可
(2)l∥B′C′，B′C′∥面AC，则l平行于面AC
例2： 如图：已知a∥b，且a∥α，过a做β与α交于c，则a∥c，又有a∥b，则b∥c，由直线与平面平行的判定定理知b∥α
自主探究2:由α∥β，α∩γ＝a，β∩γ=b知a，b无公共点，又a，b在同一平面γ内，则a∥b
例3 ：略
达标检测：
1：略 2:B 3:C 4:C 5:C 6:平行或在内 7：平行或相交

【答案15】直线与平面垂直的判定
例1：解：在和中，
∵
∴

∴
即
又∵不共线
∴平面，即旗杆和地面垂直；
a
a
b
m
例2：已知，则吗？
已知：a//b，a ^ a . 求证；b ^ a
证明：设m是a内的任意一条直线



例3：1）45°，2）30°
达标检测：
1） D；2）D 3）解：连结BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C，
∴EF⊥平面GMC．

【答案16】平面与平面垂直的判定
例1：取BD中点O，连OA，OC,则∠AOC为二面角A-BD-C的平面角。
由勾股定理知AO=OC=1，再由余弦定理（或勾股定理）知∠AOC=90°
判断对错: ××√
例2：证明:设在⊙所在平面为,由已知条件,
,在中,所以.
因为是圆周上不同于,的任意一点,
是⊙的直径, 所以是直角,即.
又因为与是△所在平面内的两条相交直线,
所以,平面,
又因为在平面内,
所以, 平面平面.
例3：证明：⑴∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∠ABC＝90°，即BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC。
⑵由⑴知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，又，AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴平面AEF⊥平面PBC。
⑶由⑵知AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAC。
达标检测：
1)D 2)D 3)D 4)A
【答案17】直线与面垂直的性质
问题2：证明:假定b不平行于a,设, b′是经过点O的两直线a平行的直线.
∥b’, a, b′即经过同一点O的两直线b ,b′都与垂直,这是不可能的,因此b∥a.
达标检测：
1）2）略3)C 4) D 5)A 6)B

【答案18】平面与面垂直的性质
探究1：在β内作直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β。
探究2：2）D
问题3:如右图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面平面垂直的性质定理有b⊥β。
因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此，有aÌα。
例1：解：在α内作垂直于α与β交线的直线b，
因为α⊥β，所以b⊥β，
因为a⊥β，所以a∥b，
又因为aËα，所以a∥α，
即直线a与平面α平行。
探究3：垂直
达标检测：
1)略 2）B
3）解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD

【答案19】《空间线面、面面关系》习题课1
例1：1.B.2.C.3.B
题型二：
B例2如图6－79，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC=a, F，G分别是EB和AB的中点。
求证：FG平面ABC；FD//平面ABC。
证明:连CG
由于F，G分别是EB和AB的中点,则FG//EA.
又EA垂直于平面ABC,则FG平面ABC.
由于DC垂直于平面ABC,则DC//FG
而DC=FG=a.
所以四边形FGCD为平行四边形.
所以FD//GC
又,
所以FD//平面ABC
B例3如图，的中点.
（1）求证：；（2）求证：；
(1)证明:过点N作NF//CD交PD于F,连AF
根据题意可知NF=AM,NF//AM
则四边形AMNF为平行四边形.
所以AF//NM
又
则
(2)由于,所以
又由于
所以,而AB//CD
则,又,则
又AF//NM,则.
题型三：一面直线角、线面角、二面角的问题
例4 D
例5 A
例6：四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成角的正切值。
答(1);(2)
【达标检测】
1. A ;2 C.3 ;D. 4 . D; 5. B 6. .7.12;8. ;9,d或2d．10. (1)(2)
11.P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，
证明：直线PC与平面ABD垂直
证明:由于 AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，
则,又
则直线PC与平面ABD垂直
12.如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P—BC—A的大小；
A
B
C
P
E
F
(1)证明:
(2)
【答案20】空间线面、面面关系习题课2
例1：（1） D （2） B
例2:证明：
（1）连接 因为是正方体

则四边形为平行四边形 ，所以
又因为E,F为AB,AD的中点

(2)因为是正方体


又因为是正方形

例3:








例4:

















，















达标训练：1~6： C A D B B C
7. 平行 菱形 8.60°
9. ①③④ è ② 或②③④ è ①













a


【答案21】直线的倾斜角与斜率
问题3
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．[0。,180。)
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 00 .当直线L与x轴垂直时, . 倾斜角为900
问题4


一条直线的倾斜角　的正切值叫做这条直线的斜率.
问题5
例1：解：直线AB的斜率

直线BC的斜率

直线CA的斜率
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．

例2解：取直线上某一点为的坐标是，根据斜率公式有:
是过原点及的直线，是过原点及的直线，过原点及 的直线．
设，则 ，于是 的坐标是（1,1）．过原点及的直线即为



达标训练：1，D 2, A 3, B 4, B 5,KAB= KAC= 6, (-2,1)

【答案22】直线的倾斜角与斜率习题课

题型一




题型二 （D）
变式：


题型三






题型四



题型五








题型六
变式
达标训练：
1.C 2.D 3.B 4.B 5. 6.2
7.
【答案23】直线的点斜式方程
问题1、
学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。
问题2、学生根据斜率公式，可以得到，当时，，即 （1）
问题3、学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
问题4、 学生分组互相讨论，然后说明理由。
问题5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。
学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。
教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。
问题7、 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特 殊情形。学生独立求出直线的方程： （2）
再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
问题8、深入理解和掌握斜截式方程的特点
问题9、使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。
问题10、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。

掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中的几何意义。
教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）时， 有何关系？（2）时，有何关系？在此由学生得出结论：
且；
达标测试



2.




5. 2x-5y=0或y-2=-(x-5)



【答案24】直线的两点式方程
问题1：（1）（2）
问题2：当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：
例1 例2
达标检测：

1 2




【答案25】直线的一般式方程
问题１任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。
问题2：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
问题3（1）A=0且B≠0且C≠0（2）B=0且A≠0且C≠0
（3）A=0且B≠0且C=0（4）B=0且A≠0且C=0
例1
例2
检测：

2．（1）-3，5；（2）
3（1）当B≠0时，直线l的斜率是；当B=0时，直线l的斜率不存在。
（2）当C=0进，A，B不全是零时，方程Ax+By+C=0表示通过原点的直线。
习题3。2

10（1）4x+y-14=0
(2)7x-2y-20=0
(3)x-2y-3=0


【答案26】两条直线的交点坐标

知识链接：
1． 点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式；
2． 相交和平行，相交，平行和异面
学习过程：
问题1：如果两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，和A2x＋B2y＋C2＝0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 A1x＋B1y＋C1=0
A2x＋B2y＋C2= 0 的解；
反之，如果方程组 A1x＋B1y＋C1=0
A2x＋B2y＋C2= 0

只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点
例1　解：解方程组：
　　　　　　　　　，解得：
所以两条直线的交点是M（－2,2）。
例2解：解方程组 得
∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y= x
例3证明：联立方程即M（1，- 1）
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
问题2（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B≠0时，方程组有唯一解
⒉当A1B2－A2B=0，B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解
⒊当A1B2－A2B=0，B1C2－B2C1=0时，方程组有无穷多解。
例4
解：（1）相交交点坐标；（2）平行，无交点（3）同一条直线，无穷多解
达标检测
1习题3。3
1（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（-2，3）
（2）两条直线平行
（3）两方程表示同一条直线
2（1）A=3，C≠-2；（2）A≠3；（3）A=
3（1）
2 x+y-1=0

3解法一：解方程组
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
解得 λ= 1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0


【答案27】点到直线的距离
学习过程：
A问题1
问题2
问题3


例1解： ①根据点到直线的距离公式，得
②直线3x=2平行于y 轴，


③直线2y+3=0平行于x轴，

问题4夹在两条平行直线间公垂线段的长。

问题5 可转化为点到直线的距离。
例2解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：
l1的斜率k1＝，l2的斜率k2＝，
因为　k1＝k2，所以　l1∥l2
先求l1与轴的交点A的坐标，容易知道点A的坐标为（4,0）
点A到直线l2的距离为：d＝＝
所以，ll与l2间的距离为。
问题6任意两条平行直线都可以写成如下形式
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
则两平行线l1与l2间的距离为：
例3解：设AB边上的高为h，则S△ABC

达标训练
1.2.
3解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2 x0－7 y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是
4.3x±4y=0
5.x+y-3=0或3x+y-5=0
6.A点关于x=0的对称点为(-3,-1), A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上
BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)C(1,1)

【答案28】直线的交点坐标与距离公式 习题课
例1解：BC的中点D（1，3）AD=2
例2解：分两种当与AB平行时，当过AB中点时，x=-1
例3解：4x+y-11=0
例4解：交点（-1，2）方程为
达标训练A（-1，5）
1D，2B，3D，4A，5或，
6解：由题得：．
，（为点到直线的距离）．
设点坐标为，的方程为，即．
由，
解得或．
点坐标为或．
7解：由题，若截距为，则设所求的直线方程为．
，．
若截距不为，则设所求直线方程为．
，或，
所求直线为，或．
8解：当过点的直线垂直于轴时，点到直线的距离等于，此时直线的倾斜角为，
当过点的直线不垂直于轴时，直线斜率存在，
设过点的直线为，即．
由，解得．
直线倾斜角为．
综上，该直线的倾斜面角为或
9. 求经过两直线：和：的交点，且与直线：垂直的直线的方程．
解法一：解方程组的交点(0，2)．
直线的斜率为，直线的斜率为．
直线的方程为，即．
解法二：设所求直线的方程为．
由该直线的斜率为，求得的值11，即可以得到的方程为．
10 试求直线：，关于直线：对称的直线的方程．
答案：解法一：由方程组得
直线、的交点为(，)．
设所求直线的方程为，即．
由题意知：到与到的角相等，则，．
即所求直线的方程为．
解法二：在上任取点(，)（），
设点关于的对称点为(，)．
则解得
又点在上运动，．
．
即，也就是．
11. 直线与直线，分别交于点，，若的中点是，求直线的方程．
答案：解：设直线的方程为或，
；
，
由，得，又直线不合题意．
所求直线方程为．
12.已知，，在轴上找一点，使，并求的值；
答案：设点为，则有
，
．
由得，解得．
即所求点为且

【答案29】直线的方程习题课
例1解： ，
∴直线的斜率故所求直线的方程为即或
A例2.
解：如下图，因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为+=1，

化为一般式为x－2y+6=0.
由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－.
于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0.
由A（3，－4）、C（－6，0），
得直线AC的斜率kAC==－.
利用点斜式得直线AC的方程为
y－0=－（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0.
也可用两点式，得直线AC的方程为
=，
再化简即可.
A例3.解：由，得；…………………………………………….….2′
∴与的交点为（1，3）。…………………………………………………….3′
（1） 设与直线平行的直线为………………4′
则，∴c＝1。…………………………………………………..6′
∴所求直线方程为。…………………………………………7′
方法2：∵所求直线的斜率，且经过点（1，3），…………………..5′
∴求直线的方程为，……………………….. …………..…6′
即。………………………………………….….. ……………7′
（2） 设与直线垂直的直线为………………8′
则，∴c＝－7。…………………………………………….9′
∴所求直线方程为。……………………………………..…10′
方法2：∵所求直线的斜率，且经过点（1，3），………………..8′
∴求直线的方程为，……………………….. ………….9′
即 。………………………………………….….. ……….10′
例4.解：(1)设点A′的坐标为（′，′）.
因为点A与A′关于直线对称，所以AA′⊥，且AA′中点在上，直线斜率是－3，所以＝.
又因为＝ 再因为直线的方程为3＋－2＝0，AA′的中点坐标是()，所以3·－2＝0
由①和②，解得′＝2，′＝6.所以A′点的坐标为(2，6)
(2)关于点A对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3＋＋c＝0.在直线上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（′，′），于是M′点在上，且MM′的中点为点A，由此得，即：′＝－８，′＝6.
于是有M′（－８，6）.因为M′点在上，所以3（－８）＋6＋＝0，∴＝18
故直线的方程为3＋＋18＝0
练习：入射光线和反射光线所在直线方程分别是：x-y-2=0,x+y-2=0
达标训练
1D，2B，3C，4B，5D，6A，7A，8B
9 -2
10 7x-9y+21=0

【答案30】圆的标准方程
例1: 1, (1) x2+y2=9 (2) (x-3)2+(y-4)2=5 (3) (x-8)2+(y+3)2=25
2, (1) (1,0) (2) (-1,2) 3 (3) (-a,0)
例2：（x-2）2+ (y+3)2=25 M1 在M2不在。
例3:设所求外接圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 因为 A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)都在圆上，
则有： A(5,所




所以所求外接圆的方程为 （x-2）2+(y+3)2=25
例4：解：因为A(1,1)和B(2,-2)，所以线段AB的中点的坐标为 ，直线AB的斜率


因此线段AB的垂直平分线l′的方程是： 即

圆心C的坐标是方程组 的解；解得： 即 C(-3,-2)


圆心为C的圆的半径长： 所以，圆心为C的圆的标准方程是：


【达标检测】1，因为以P1P2为直径的圆的方程为 所以点M 在圆上；点N在圆外；点Q在圆内。

2， 3, x=3或 5x+12y-39=0
4，

5，

【答案31】圆的一般方程
例1解：设所求的圆的方程为： 因为A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圆上

所以
例2解;设点M(x,y),点A的坐标是（x0,y0)，由于点B的坐标是（4，3）且点M是线段AB的中点 ，

所以x= y=
所以x0=2x-4,y0=2y-3;因为点A在圆（x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程（x+1)2+y2=4；即（x0+1)2+y02=4 即：(2x-4+1)2+(2y-3)2=4;整理得


变式：解：设P（x,y）是曲线上任意点，则 整理得：3x2+3y2+6x-9=0
【达标检测】
1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圆，则k的取值范围 ( D )
A k>3 B C -23或k<-2
2,方程表示的曲线是（ A ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
3,动圆的圆心的轨迹方程是　x-2y-1=0　　 .
4,如果实数满足等式，那么的最大值是________。
5, 求下列各题的圆心坐标、半径长
（1）x2+y2-6x=0 (3,0); r=3 (2) x2+y2+2by=0 (0,-b) ; r=
(3) x2+y2-2ax-2y+3a2=0 (a,); r=
6,下列各方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0 (0,0) (2)x2+y2-2x+4y-6=0 以 (1,-2)为圆心，为半径圆
(3) x2+y2+2ax-b2=0 以（-a,0）为圆心，为半径圆
7,已知圆C：x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程
解：点差（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-4(x1-x2)=0 即6+2×k-4=0 k=-1
直线AB的方程为 x+y-4=0

【答案32】直线与圆的位置关系
例1：解：因已知圆的圆心到直线的距离为所以直线与圆相交。
解得其交点为（1,3）；（2,0）
例3：解法一(利用△)：解方程组
消去 y 得： 2x2+2bx+b2-4=0 ①
方程①的判别式 ⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2 +b)(2 - b).
当-2 0, 直线与圆相交；
当b=2 或 b=-2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 或b<-2 时，⊿<0，直线与圆相离。
解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
圆心到直线的距离为

（1）当-2 （2）当b=2 或b= -2 时, d=r, 直线与圆相切
（3）当b>2 或b<-2 时，d>r，直线与圆相离。
达标检测：1，B 2，C 3，B 4，x+y-5=0
5，解：








【答案33】圆与圆的位置关系
例1：解：因为兩圆c1和c2的圆心分别为（-1，-4）；（2,2）；半径分别为r1=5 r2=
兩圆的圆心距为3，半径和为5+，而3<5+.所以兩圆相交。
【达标测试】：
A1、判断下列两圆的位置关系：
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16 （1）相切
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0 （2）相离
B2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交，求实数m的范围
解：
A3、已知以（-4,3）为圆心的圆与x2+y2=1 相切，求圆C的方程.(x+4)2+(y-3)2=16
C4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。(x-3)2+(y-3)2=18
C5、 求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 2 条。

【答案34】直线与圆的方程的应用
例1:最大距离:;最小距离:. 例2:解:设中点P(x,y)由垂径定理知,,
整理得： 即（在 x2+y2=4内部分）。
例3：设L的方程为y-5=k(x-5) 则 解得：k=2 或 k=
所以L的方程分别为：2x-y-5=0 x-2y+5=0
例4：解：圆心（1，-1）关于点（2,2）的对称点为（3,5）则所求的圆的方程为
例5:解:
















例6;解：













【达标检测】
A1，求直线:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长
B2，圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
B3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程 x2+(y+20.7)2=27.92
B4，某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？













【答案35】圆的习题课
例题1：解：因为6×（-2）-4×4+9=1＞0，所以P点在圆C外。练习：选 B.
例题2:解：由x2+y2- 2ax+2y+a2-a+1=0配方得到：。因为a >0 所以：这个圆的圆心是（a,-1）;半径 r= 又因圆心（a,-1）到x+y-2a+1=0的距离为d=所以当a>2时d>r二者相交； a=2时d=r二者相切；a<2时d 例题3:解：因为x2+y2 =2的圆心（0,0）到y= x+1的距离为，x2+y2 =2的半径r=;所以弦长为2
例题4：解：因为圆C1:的圆心和半径分别为（0,3）；r=3. 圆C2: 的圆心和半径分别为(4,0);r=2.
=5=3+2,所以兩圆相切。
例5：(1)设圆心坐标为（a,-2a）由圆心到x- y =1的距离等于圆心到P( 2,-1 )的距离，求出圆心再求半径，最后的圆的方程为 （x-1）2+(y+2)2=2.(2) 圆的方程为 (x-5)2+(x-6)2=10. 练习：（x-2）2+(x+1)2=4
例6：（1）解：因为点P( -3 , 2 )，在圆x2+y2=13上所以切线的斜率为，所以所求切线方程为y-2=(x-2) 即：3x-2y-2=0 (2)因P点在圆外，则所求切线有两条，分别为：18x+y+81=0 2x+3y-22=0
(3) 2x+3y-13=0; 2x+3y+13=0
例7：（1） （2） （3）7+4 ; 7-4.