巩固练习_直线、平面垂直的判定_提高

【巩固练习】

1．下列表述正确的个数为（    ）

①若直线a∥平面，直线a⊥b，则b⊥；

②若直线a平面，b，且a⊥b，则a⊥；

③若直线a平行于平面内的两条直线，则a∥；

④若直线a垂直于平面内两条直线，则a⊥．

A．0    B．1    C．2    D．3

2．经过平面外一条直线的平面中，与平面垂直的平面（    ）

A．有且只有一个        B．一定有无数多个

C．有1个或无数多个    D．不一定存在

3．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（    ）

A．，    B．，b∥

C．a⊥，b⊥      D．a，b⊥

4．1，2，3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．1⊥2，2⊥31∥3

B．1⊥2，2∥31⊥3

C．1∥2∥31，2，3共面

D．1，2，3共点1，2，3共面

5．设有直线m、n与平面、，则下列命题中正确的是（    ）

A．若m∥n，m，n，则∥

B．若m⊥，m⊥n，n，则∥

C．若m∥n，n⊥，m，则⊥

D．若m⊥n，n⊥，m，则⊥

6．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（    ）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

7．（2015年 河南开封二模）三棱锥S—ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是．

其中正确的个数是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（    ）

A．O—ABC是正三棱锥              B．直线OB∥平面ACD

C．直线AD与OB所成的角是45°    D．二面角D—OB—A为45°

9．（2016春 福建宁德月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（    ）

A．AG⊥△EFH所在平面    B．AH⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面    D．HG⊥△AEF所在平面

10．已知m、是直线，、是平面，给出下列命题：

①若垂直于内两条相交直线，则；

②若平行于，则平行于内的所有直线；

③若，，且，则；

④若，且，则；

⑤若，，且，则．

其中正确的命题的序号是________．

11．如图，二面角的大小是60°，线AB，B∈，AB与所成的角为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是________．

12．（2015年 甘肃嘉峪关三模）已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________．

13．如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．

（1）证明：AC⊥平面POD；

（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

14．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．

    （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；

（3）证明：直线BD⊥平面PEG．

15．（2015年 山东）如图，在三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

16．（2016 江西模拟）如图，已知四棱台ABCD—A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4．

    （1）若，证明：PQ∥平面ABB1A1；

    （2）若P是D1D的中点，证明：AB1⊥平面PBC．

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】 ①中b与还可能平行、斜交或b在平面内；②中a与还可能平行或斜交；③中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．

2．【答案】C

【解析】 直线垂直于时有无数个，否则1个．

3．【答案】B

【解析】 若A项正确，则必有a∥b，在原题意中显然不一定具备该条件；若C项正确，也必有a∥b，也不符合题意；若D项正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B．

4．【答案】B

【解析】  在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

5．【答案】C

【解析】 构造图形，结合所学过的定理逐一判断．

6．【答案】C

【解析】 如图是三棱柱ABC—A1B1C1，不妨设各棱长为1．

取BC的中点E，连接AE，DE，∵CC1⊥底面ABC，

∴侧面BB1C1C⊥底面ABC，

又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，

由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB1C1C，

∴∠ADE的大小就是AD与平面BB1C1C所成角的大小．

容易计算∠ADE=60°．故选C．

7．【分析】由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【答案】D

【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；

再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；

取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，④正确，故选：D．

8．【答案】B

【解析】 依题意，将正四面体补成一个正方体，且点O恰好是正方体的一个顶点，由此不难得知O—ABC是正三棱锥，直线OB与平面ACD相交（注意观察与直线OB平行的直线与平面ACD是相交的），直线AD与OB所成的角是45°，二面角D—OB—A为45°．综上所述，选B．

9．【答案】B

【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；

∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；

∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．

故选B．

10．【答案】①④  对于②，，但不能平行于内的所有直线；对于③，不能保证；对于⑤，，但在，内的直线与m可能平行，也可能异面．

11．【答案】 

【解析】如图，作AO⊥于O，AC⊥于C，连接OB、OC，则OC⊥．

设AB与所成角为，则∠ABO=，

由图得．

12．【分析】连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可．

【答案】1.5

【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DM，

若BC边上存在点M，使PM⊥MD，

则DM⊥面PAM，即DM⊥AM，

∴以AD为直径的圆和BC相交即可．

∵AD=BC=3，∴圆的半径为3，

要使线段BC和半径为3的圆相切，

则AB=1.5，即a=1.5，

∴a的值是1.5．

故答案为：1.5．

【点评】本题主要考查线面垂直的性质的应用，将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的性质是解决本题的关键．

13．【解析】（1）因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．

又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO．

而OD，PO是底面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．

（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．

在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，如答图59，则OH⊥平面PAC．

连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，

所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．

在Rt△ODA中，．

在Rt△POD中，．

在Rt△OHC中，．

14．【解析】（1）该安全标识墩侧（左）视图如下图（左）所示．

（2）该安全标识墩的体积

  =64000 (cm)3．

（3）如上图（右），由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，

又ABCD—EFGH为长方体，∴BD∥FH．

设点O是正方形EFGH的中心，

∵P—EFGH是正四棱锥，

∴PO⊥平面EFGH，而FH平面EFGH，∴PO⊥FH．

∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG=O，

PO平面PEG，EG平面PEG，∴FH⊥平面PEG．

而BD∥FH，故BD⊥平面PEG．

15．【证明】（Ⅰ）证法一：

        连接GF，CD，设CD∩GF=O，连接OH

        在三棱台DEF—ABC中，

        AB=2DE，G为AC的中点，

        可得DF∥GC，DF=GC,

        所以 四边形DFCG为平行四边形，

        则O为CD的中点，

        又H为BC的中点，

        所以OH∥BD，

        又OH平面FGH ，BD平面FGH，

        所以BD∥平面FGH

      证法二：

        在三棱台DEF—ABC中，

        由BC=2EF，H为BC的中点，

        可得 BH∥EF，BH=EF，

        所以四边形BHFE为平行四边形，

        可得 BE∥EF，

        在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，

        所以GH∥AB，

        又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED，

        因为 BC平面ABED，

        所以 BD∥平面FGH．

  （Ⅱ）作HM⊥AC与点M，作MN⊥GF与点N，连接NH

    由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC，

    又 FC∩AC=C，

    所以HM⊥平面ACFD，

    因此 GF⊥NH，

    所以∠MNH即为所求的角，

    在△BGC中，MH∥BG，,

    由△GNM∽△GCF，

    可得，

    从而，

    由 HM⊥平面ACFD，MN平面ACFD，

    得 HM⊥MN，

    因此 ,

    所以 ∠MNH=60°，

    所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．

16．【证明】（1）在AA1上取一点N，使得，

∵，且A1D1=3，AD=6，

∴，又，

∴，

∴四边形BQPN为平行四边形，

∴PQ∥BN，

∵BN平面ABB1A1，PQABB1A1．

∴PQ∥ABB1A1．

（2）如图所示，取A1A的中点M，连接PM，BM，PC，

∵A1，A，D1D是梯形的两腰，P是D1D的中点，

∴PM∥AD，于是由AD∥BC知，PM∥BC，

∴P，M，B，C四点共面，

由题设可知，BC⊥AB，BC⊥A1A，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∴BC⊥AB1，①

∵，

∴∠ABM=∠A1AB1，

∴∠ABM+∠BAB1=∠A1AB1+∠BA1B1=90°，

∴AB1⊥BM，

再由①与BC∩BM=B，知AB1⊥平面PBC．