巩固练习_直线、平面垂直的性质_提高

【巩固练习】

1．下列说法中正确的是（    ）

①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．

A．①②③   B．①②③④     C．②③    D．②③④

2．设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（    ）

A．过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交

B．过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直

C．过a一定可作一个平面与b垂直

D．过a一定可作一个平面与b平行

3．已知平面、、，则下列命题中正确的是（    ）

A．，，则

B．，，则

C．，，，则a⊥b

D．，，a⊥b，则b⊥

4．给出下列四个命题：

①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．

其中正确的是（    ）

A．①③    B．②③    C．②③④    D．④

5．（2015年 安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（    ）

A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点

B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点

C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点

D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD

6．以等腰直角△ABC斜边BC上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（    ）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

7．（2016 甘肃天水期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A＇—BCD，使平面A＇BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（    ）

    A．A＇C⊥BD

    B．∠BA＇C=90°

    C．CA＇与平面A＇BD所成的角为30°

    D．四面体A＇—BCD的体积为

8．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面与不垂直．

其中，为真命题的是（    ）

A．①和②    B．②和③    C．③和④    D．②和④

9．平面平面，且，则和的位置关系是          ．

10．在空间四边形中，、都是边长为1的正三角形，且平面平面．为空间各边上的中点，则四边形的面积是          ．

11．（2015春 上海期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=________．

12．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是________．

13．（2016 陕西模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

14．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．

（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B—CDF的体积．

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】 过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确．

2．【答案】D

【解析】 A不正确，若点P和直线a确定平面，当b∥时，满足条件的直线不存在；C不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面．

3．【答案】B

【解析】 如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，

平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面A1D1D相交．

C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1=D1B1，

平面AA1D1D∩平面AB1D1=AD1，

平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，

而AB1与AD1不垂直；

D中，b不定在平面β内．

4．【答案】D

【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若，，则或，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．

5．【分析】设AC∩BD=O，由ABCD是正方形，得O是AC中点，从而OM∥PC，由此得到M是PA中点；设N为PB的中点，连结AN，则AN与PB不一定垂直，从而得到N不一定是PB中点；由已知得PA=AC，PD=DC，从而H为PC的中点；由AD∥BC，得到l∥AD∥BC．

【答案】B

【解析】设AC∩BD=O，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，

∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，

∴M是PA中点，故A正确；

设N为PB的中点，连接AN，

∵PA与AB不一定相等，∴AN与PB不一定垂直，

∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB的中点，故B错误；

∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，

∴PA=AC，PD=DC，

∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确；

∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，

∴l∥AD∥BC，故D正确．

故选：B．

6．【答案】C

【解析】 如图，由题可知CD=BD=AD，∠BDC=90°，则 ，所以∠ABC=60°．

7．【答案】B

【解析】若A成立可得BD⊥A＇D，产生矛盾，故A不正确；

由题设知：△BA＇D为等腰Rt△，CD⊥平面A＇BD，得BA＇⊥平面A＇CD，于是B正确；

由CA＇与平面A＇BD所成的角为∠CA＇D=45°知C不正确；

，D不正确．

故选B．

8．【答案】D

【解析】  ①没有强调一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以①错；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②正确；③垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③错；④根据两个平面垂直的性质定理易知④正确．故选D．

9．【答案】  

【解析】设，，，，又，．

10．【答案】 

【解析】画出空间四边形，由题意知，四边形是矩形，其中一边长是，一边长是，所以矩形的面积是．

11．【分析】设AB=AC=1，则，由已知条件推导出△ABC是正三角形，由此能求出结果．

【答案】60°

【解析】设AB=AC=1，则，

∵BD⊥平面ADC，CD平面ADC，

∴BD⊥CD，

∵△BDC是等腰直角三角形，

∴，

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=60°．

故答案为：60°．

12．【答案】 

【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，

∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，

∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF．

∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK．

容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．

所以t的取值范围是．

13．【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．

∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．

∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC，

而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，

∴EB⊥PA，

又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，又AF平面PAB，

∴AF⊥BE，

又PA=PB=1，点F是PB的中点，

∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BEPBE，

∴AF⊥平面PBE．

∵PE平面PBE，∴AF⊥PE．

∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

14．【分析】（1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，由此能够证明BD⊥FG．

（2）当G为EC中点时，FG∥平面PBD．根据题设条件，利用直线与平面平行的判定定理进行证明．

（3）三棱锥B—CDF的体积等于三棱锥F—BCD的体积，利用等积法能求出结果．

【答案】（1）略（2）略（3）

【证明】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD、AC交于点E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD．

∴BD⊥平面APC，

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG

（2）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD．

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG∥平面PBD．

（3）连结FE，FD，

∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点，

∴FE∥PA，且，

∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，

∵，

∴三棱锥B—CDF的体积．