知识讲解_直线、平面垂直的性质_基础练习题

直线、平面垂直的性质

【学习目标】

1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；

2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；

3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．

【要点梳理】

要点一、直线与平面垂直的性质

1.基本性质

文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.

符号语言：

图形语言：

2.性质定理

文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号语言：

图形语言：

3．直线与平面垂直的其他性质

（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若于，，则．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．

要点诠释：

线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．

要点二、平面与平面垂直的性质

1．性质定理

文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

要点诠释：

面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．

2．平面与平面垂直性质定理的推论

如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

要点三、垂直关系的综合转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

    在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．

    垂直间的关系可按下面的口诀记忆：

    线面垂直的关键，定义来证最常见，

    判定定理也常用，它的意义要记清．

    平面之内两直线，两线交于一个点，

    面外还有一条线，垂直两线是条件．

    面面垂直要证好，原有图中去寻找，

    若是这样还不好，辅助线面是个宝．

    先作交线的垂线，面面转为线和面，

    再证一步线和线，面面垂直即可见．

    借助辅助线和面，加的时候不能乱，

    以某性质为基础，不能主观凭臆断，

    判断线和面垂直，线垂面中两交线．

    两线垂直同一面，相互平行共伸展，

    两面垂直同一线，一面平行另一面．

    要让面和面垂直，面过另面一垂线，

    面面垂直成直角，线面垂直记心间．

【典型例题】

类型一：直线与平面垂直的性质

例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．

（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；

（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c．

【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．

证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇．

∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．

又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，

∴AB⊥．

（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇．

又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．

∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．

∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．

故c∥AB．

【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．

举一反三：

【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若⊥m，m，则⊥    B．若⊥，∥m，则m⊥

C．若∥，m，则∥m    D．若∥，m∥，则∥m

【答案】 B

【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

高清：空间的线面垂直398999 例3

例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）证明：AE⊥CD；

（2）证明：PD⊥平面ABE．

【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；

（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．

又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，

∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．

（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．

由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE

【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．

举一反三：

【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．

（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

【解析】

证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC．

∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．

又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．

又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．

（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，

又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．

又由（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，

∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．

【变式2】（2015秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

    （1）求三棱锥D—AEC的体积；

    （2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE。

【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，则AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；

    （2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论。

【答案】（1）（2）详见证明

【证明】取AB中点O，连接OE，

因为AE=EB，所以OE⊥AB。

因为AD⊥面ABE，OE面ABE，所以OE⊥AD，

所以OE⊥面ABD。

因为BF⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE。

因为CB⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC。

又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE。

又BE面BCE，所以AE⊥EB。

所以△AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，

所以。

（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以。

因为MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，

所以MG∥平面ADE，

同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，

所以平面MGE∥平面ADE，

又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE。

所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。

类型二：平面与平面垂直的性质

高清：空间的面面垂直399110 例2

例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．

【解析】已知：，，，求证：．

证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，

∵，∴⊥PA，⊥PB．

∵PA，PB，PA∩PB=P，

∴．

证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，

∵，，∴，，∴m∥n．

又，∴m∥，∴m∥，∴．

证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使．

∵，且，∴．

同理，∴，即与m重合．

∴．

【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．

举一反三：

【变式1】如下图，已知PA⊥平面ABC，二面角A—PB—C是直二面角．求证：AB⊥BC．

证明：二面角A—PB—C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．

在平面PAB内，过A作AD⊥PB，D为垂足（如图），

则AD⊥平面CPB，又BC平面CPB，所以AD⊥BC．

因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC，又PA∩AD=A，

因此，BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，

所以AB⊥BC．

【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面角、直线与平面所成的角、平面的垂线等．

类型三：综合应用

例4．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点。

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。

【思路点拨】（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可。

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可。

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。

只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果。

【证明】（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG

（2）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD，

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，

而FG平面PBD，PE平面PBD，

故FG∥平面PBD。

（3）作BH⊥PC于H，连接DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD就是二面角B—PC—D的平面角，即，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角

连接EH，则EH⊥BD，，EH⊥PC，

∴，而BE=EC，

∴，∴，∴，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是。

举一反三：

【变式1】（2016 山东潍坊模拟）如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，M是CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上的翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD

（1）求证：AB⊥PN．

（2）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．

【证明】（1）连结AM，

∵M是CD的中点，，AB∥CD，

∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，

∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，

∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形，

∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN平面PBM，

∴PN⊥平面ABMD，∵AB平面ABMD，

∴AB⊥PN．

（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，

∴EN∥PC，

∵PC平面PDM，EN平面PDM，

∴EN∥平面PDM．

【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直——线面垂直——面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．

【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．

(Ⅰ)证明：//平面；

(Ⅱ)证明：平面；

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正切值．

【解析】(Ⅰ)连接，．在平行四边形中，

因为为的中点，所以为的中点．

又为的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

(Ⅱ)因为°，且，

所以°，即，

又平面，平面，

所以，而，所以平面．

 (Ⅲ)取中点，连接，．因为为的中点，

所以，且，由平面，

得平面．

所以是直线与平面所成的角．

在中，，，

所以．从而．

在中，，

即直线与平面所成角的正切值为．