9.高一数学（人教B版）-正弦函数的性质与图像-1教案

教学基本信息

课题

正弦函数的性质与图像

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第三册B版  出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年7月

教学目标及教学重点、难点

本节课充分利用单位圆研究正弦函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质，并在分析性质的基础上得到正弦函数的图像，再通过函数图像进一步理解性质，解决函数的相关问题，充分体现了研究函数的一般方法及数形结合的数学思想，主要提升学生直观想象的数学核心素养，分析问题、解决问题的能力。

重点：正弦函数的性质与图像

难点：理解弧度值与轴上点的对应和正弦函数

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

我们已经系统的学习了函数的相关知识，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等，并通过研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数，初步掌握了研究函数的一般方法，首先我们来回忆一下研究函数的一般方法是什么：   先分析函数性质，函数性质包括定义域、奇偶性、周期性、单调性、值域、零点等，   再借助性质画出函数的大致图像，利用图像进一步理解函数性质，从而解决函数的相关问题。这个过程体现了数学的本质，也充分体现了数形结合的数学思想。本节课，我们对于正弦函数的性质与图像也是遵循这样的研究思路。

回顾研究函数的一般方法，整体把握本节内容的研究思路。

情境

请大家看情境与问题：将生活中的摩天轮抽象成如图所示的平面图形，以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系。设到地面的高为m，点为转轮边缘上任意一点，转轮半径为m。记以为终边的角为rad，点离地面的高度为m,请回答问题：你能写出关于的表达式吗？

是的函数吗？这个函数有什么性质呢？

对于任意的一个角，都有唯一确定的正弦与之对应，因此也是一个函数，一般称为正弦函数

通过情境引出本节课的研究对象，正弦函数

新课

（一）   借助单位圆研究正弦函数的性质

问题1：正弦函数的定义域的范围是什么呢？

问题2:正弦函数是否具有奇偶性呢？

通过单位圆这个直观化解释模型，你能找到角x和-x的终边与单位圆交点纵坐标之间的关系吗？x和-x的终边有什么关系呢？  

问题3：同学们请思考一下，除了原点，正弦函数还有其它的对称中心吗？  

问题4：你能用所学知识严格证明正弦曲线关于点中心对称吗？

问题5:类比中心对称的分析方法，你能判断正弦函数是否还有其它的对称性呢？  

问题6:同学们，从交点纵坐标的变化，你能观察出正弦函数是否具有周期性呢？

 成立，当自变量x的值每增加或者减少的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性。

问题7：那正弦函数的周期是多少呢？通过刚才的分析，我们知道的整数倍是正弦函数的周期。

问题8：正弦函数还有其它的周期吗？通过单位圆我们发现，角和的终边与单位圆交点的纵坐标均为，即角的终边从逆时针旋转到达时，正弦值重复出现了，也即成立，那么是正弦函数的周期吗？

问题9：根据正弦函数周期性，你能抽象出一般函数周期性的定义吗？

函数周期性的定义。对于函数，如果存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个，都满足，那么就称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的周期.

问题10：在这个定义中，我们需要注意的关键词语和核心要素是什么呢？解读代数式 的含义。

问题11：研究完奇偶性和周期性，我们继续观察单位圆，从交点纵坐标的变化规律中，你能得到正弦函数的单调性吗？

问题12：通过刚才交点纵坐标的变化，你还能发现函数的什么性质呢？

（二）   根据性质研究正弦函数图像

问题1：上述性质对作出正弦函数的图像有什么帮助呢？根据周期性，只需选定一个周期长度的区间来作图，比如选择闭区间；根据奇偶性，可将作图区间缩小到闭区间；根据对称性，正弦函数关于直线对称，所以作图区间进一步缩小到闭区间

问题2：请同学们思考：正弦函数在闭区间上单调递增，那么函数图像的大致形状是怎样的呢？是一条直线？是增加的越来越快？还是越来越慢呢？同学们可以在纸上试着画一画，

问题3:借助单位圆作出正弦函数图像

问题4:观察我们作出的正弦函数的图像，你能说出确定的图像形状时，哪些点起着关键作用？为什么呢？

在用五点法作图时，我们要记准被这五个点分割的区间上函数图像的变化情况。描点连线时，一定要按照正弦曲线的形状连成光滑曲线，特别注意波峰波谷的平缓过渡以及对称中心左右曲线凹凸的变化。

借助单位圆这个直观化解释模型分析正弦函数的性质，再借助周期性、对称性、单调性通过取值描点或通过单位圆描点作图得到正弦函数的图像，并获得了快速画出正弦函数示意图的方法，即五点作图法，之后又通过图像进一步理解性质，这充分体现了数形结合的数学思想.

例题

例1：不求值，比较和的大小，

仍然可以借助单位圆这个直观化解释模型，在单位圆中找到两个角终边所在的位置，比较终边与单位圆交点纵坐标的大小，就可以解决问题了，当然我们也可以借助正弦函数的周期性和诱导公式将两个角转化到同一个单调区间，利用正弦函数的单调性解决问题，请同学们课下完成。

例2：求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的x的值：

（1）（2）

解析：第一个问题中，函数 与同时取得最大值和最小值，所以当时，y的最小值为-3；当时，y的最大值为-1；

对于第二个函数，利用换元法，将题目中的函数最值问题转化为闭区间上二次函数的最值问题。    

令，则整体的平方+1，t属于闭区间，根据二次函数在闭区间上的单调性可得：，即时，y的最大值为；

，即或时，y的最小值为

例3：用五点法作函数的图像。

解：找出五个关键点，列表如下：

描点作图，如下图所示

加深对正弦函数性质与图像的理解，从代数与几何两个角度理解正弦函数的性质

总结

同学们，通过本节课的学习，大家有哪些收获呢？对于正弦函数是否又有了更深刻的认识呢？本节课的核心任务是借助单位圆研究正弦函数的性质与图像。此时对于正弦函数我们已经有了两个直观化解释模型—单位圆与函数图像。二者存在着紧密的联系也各有所长，通过单位圆我们能得到正弦函数的性质与图像，利用单位圆我们可以更直观的得到同角三角函数基本关系式及诱导公式，而函数图像可以更直观的表示变量间的变化过程和变化趋势。总之，我们要通过不断的学习，加深对正弦函数代数和几何特征的认识，深刻体会数形结合的数学思想方法，进一步加强对函数及其研究方法的理解。

加深对正弦函数代数和几何特征的认识，深刻体会数形结合的数学思想方法，进一步加强对函数及其研究方法的理解

作业

作业1：不求值，比较和的大小

作业2：求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值

（1）；（2）整体的平方；（3）整体的平方-3

作业3：用五点法作出下列函数在上的图像，并说明它们与的图像的关系。

（1）（2）

巩固与复习