21.高一数学（人教B版）向量数量积的坐标运算--1教案

教学基本信息

课题

向量数量积的坐标运算

学科

数学

学段： 高中

年级

高一年级

教材

书名： 普通高中教科书数学（B版）必修第三册  出版社：人民教育出版社

出版日期：2019 年 7月

教学目标及教学重点、难点

本节课要求掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算，能运用数量积的坐标表达式表示向量的长度、距离以及两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。通过五个例题以及一道思考与练习对上述内容进行巩固应用，其中有一个例题让学生体验用向量数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题。整节课让学生体会数形结合及转化的数学思想。

重点：向量数量积的坐标运算与度量公式.

难点：灵活应用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

在前面的课程中我们学习了向量数量积的定义、相关性质以及向量数量积的运算律，目前为止，我们学习了向量的四种运算，分别是加法运算、减法运算、数乘运算以及数量积运算。其中，加法运算、减法运算以及数乘运算不仅具有明显的几何特征，而且还可以进行坐标运算，在具有几何特征的同时还具备了代数的特征，我们刚刚学习了向量数量积的几何意义，知道它具备“形”的特征，那么，它是否也像其他三种运算一样可以进行坐标运算，具备代数的特征呢？答案是肯定的。那么，我们这节课就来共同学习向量数量积的坐标运算。

提出问题，引发思考

新课

首先让我们来复习回顾与本节课的内容相关的两个知识点。

第一个知识点，向量数量积的定义及相关性质。

向量数量积的定义，即：

，也可以写成，此处需注意：在写法上，。这个公式可以用来求向量的模。

当与都是非零向量时，，这个公式可以用来求两向量之间的夹角。

，这个公式可以用来证明某些垂直问题，或者将某些垂直问题转化成向量数量积的语言进行求解。

接下来我们复习回顾第2个知识点，必修第二册学习过的平面向量坐标表示的定义？

在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量和之后，根据平面向量基本定理可知，对平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得。这时我们称有序实数对是向量的坐标，记作。而且，是一组单位正交基底，根据前面学习过的向量数量积的定义，可得，。

向量可以用坐标表示，前面我们学习了向量数量积的定义，那么向量的数量积可以用坐标表示吗？

我们看第1个思考题：设，你能用的坐标表示吗？

由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，使得，，因此=

=，根据刚才的结论，其中，，所以与的数量积等于。从而，即两个向量的数量积等于这两个向量的横坐标之积与纵坐标之积的和。

    前面我们学习了向量数量积的性质，得出了向量模、以及两个向量夹角的余弦公式，那么这些公式可以用坐标表示吗？

我们来看第2个思考题： 设，且它们都不是零向量时，你能用的坐标表示和吗？

由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表示得：

，同理可得：，

当和是零向量时，它们的模是0。

这两个向量夹角的余弦是

小结：利用向量的坐标可以迅速的求出向量的数量积、向量的模以及两个向量的夹角。

下面我们来看第3个思考题：在平面直角坐标系中，如果，你能利用向量的数量积得出这两点之间的距离公式吗？

如果，则，所以平面直角坐标系中线段的长度等于的模，等于，这是平面直角坐标系中两点间的距离公式。

小结：利用向量的数量积可以方便的得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式。

下面我们来看例1：已知求.

解：题目直接给出了，的坐标，所以直接代入向量数量积的坐标运算公式可知：

因为两个向量夹角的范围是大于等于0小于等于，所以。

下面我们来看例2：已知点求的余弦值。

这是一个平面几何中的角度问题，而向量与向量之间也有夹角，你能将这个角度问题转化为向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决吗？

如图，在中，是向量和向量的夹角，此处，要特别提醒同学们，要求两个向量的夹角，必须将这两个向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量与向量有共同的起点A，因此角BAC就是向量与向量的夹角。可利用两向量夹角的余弦公式来求解。

因为

所以

，

因此。

前面学习了两个向量垂直的充要条件，你能用向量的坐标表示出两个向量垂直的充要条件吗？

我们来看第4个思考题：设，你能用的坐标表示出的充要条件吗？

因为的充要条件是，因此。

小结：利用向量的坐标和向量的数量积，可以方便的表达出向量垂直的条件。

下面我们来看例3：已知点求证：。

本题考察向量与向量的垂直问题，而题目的条件中给出了点的坐标，你能将这个垂直问题转化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决吗？答案是肯定的，下面是解题过程。

因为

所以，因此。

下面我们继续来看例4：如图，已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，求点的坐标。

你能挖掘已知条件，从而找到关于点坐标的方程吗？

由已知可得：，设，则又因为则由可得，由可得，联立这两个方程，解得或，又因为由图可知所以。

小结：利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，同样，向量的长度，距离以及向量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条件而定。

接下来我们看例5：如图，已知正方形中，为对角线不在端点上的任意一点，，连接。求证：。

若要证，只需证，进一步只需证证。

同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决。

如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。

如图，我们可以以为原点，所在直线为轴，正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系，则从而，由已知，可设，其中，则因此

。

又因为，所以因此。

同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表示出向量和向量，将垂直问题转化为利用向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自行尝试。

小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可以使题目变得简单、易操作。

接下来，我们看一道思考与练习。

已知点，点，求证：直线是线段的垂直平分线。

我们来分析这道题目：如果要证直线是线段的垂直平分线，需要证明两件事，第一件事证明直线是线段的平分线，即证直线通过线段的中点，第二件事证明直线与线段垂直。接下来：我们先来证明第一件事：

要证直线通过线段的中点，可以通过证明线段的中点在直线上。设线段的中点为点, 则根据中点坐标公式得：, ，所以等于. 点在直线上。即我们完成了证明直线通过线段的中点这件事情。

接下来，我们证明第二件事，直线与线段垂直。同学们想一想，是否可以通过将垂直问题转化为向量数量积的坐标运算得以解决呢？题目已经给出了点与点的坐标，因此，

根据已知，，那么如何证明直线与垂直呢？

我们可以在直线上，任取一点 则根据题目的条件，可设点 于是，

所以

所以。从而，直线与线段垂直，因此，直线是线段的垂直平分线。

复习旧知，引出新知，为后续的学习提供铺垫

思考问题，利用所学得出向量数量积定义的坐标表达式。

通过问题和思考题，得出向量的模和夹角公式的坐标运算

通过思考题得出向量数量积证明平面上两点之间距离公式的方法，体会向量数量积的作用

通过例题让学生巩固应用向量数量积的坐标运算

通过思考题，让学生感受向量垂直的坐标运算表达式

通过此题让学生感受向量解决几何问题的作用

通过对此题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力

例题

例1：已知求.

解：题目直接给出了，的坐标，所以直接代入向量数量积的坐标运算公式可知：

因为两个向量夹角的范围是大于等于0小于等于，所以。

例2：已知点求的余弦值。

这是一个平面几何中的角度问题，而向量与向量之间也有夹角，你能将这个角度问题转化为向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决吗？

如图，在中，是向量和向量的夹角，此处，要特别提醒同学们，要求两个向量的夹角，必须将这两个向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量与向量有共同的起点A，因此角BAC就是向量与向量的夹角。可利用两向量夹角的余弦公式来求解。

因为

所以

，

因此。

例3：已知点求证：。

本题考察向量与向量的垂直问题，而题目的条件中给出了点的坐标，你能将这个垂直问题转化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决吗？答案是肯定的，下面是解题过程。

因为

所以，因此。

例4：如图，已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，求点的坐标。

你能挖掘已知条件，从而找到关于点坐标的方程吗？

由已知可得：，设，则又因为则由可得，由可得，联立这两个方程，解得或，又因为由图可知所以。

小结：利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，同样，向量的长度，距离以及向量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条件而定。

例5：如图，已知正方形中，为对角线不在端点上的任意一点，，连接。求证：。

若要证，只需证，进一步只需证证。

同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决。

如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。

如图，我们可以以为原点，所在直线为轴，正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系，则从而，由已知，可设，其中，则因此

。

又因为，所以因此。

同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表示出向量和向量，将垂直问题转化为利用向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自行尝试。

小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可以使题目变得简单、易操作。

通过例题的讲解和分析进一步巩固本节所学内容

总结

一、本节课学习了向量数量积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标等式，向量的长度、距离、夹角的坐标公式，使得向量数量积的运算实现了代数化。即向量的数量积运算与加法运算、减法运算、数乘运算一样，不仅具有几何特征，而且还可以进行坐标运算，有明显的代数特征。

二、平面向量数量积的计算问题，往往有两种解法，一是利用向量数量积的定义式，二是利用向量数量积的坐标运算公式。一般情况下，选择哪种方式，要根据题目的条件而定，如果选择定义式，需要有合适的基底，如果选择坐标运算公式，需要有合适的坐标系。涉及几何图形的问题，建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的作用。

三、利用向量的夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、长度问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决。

通过自我总结和反思，加深对本节内容的理解。

作业

1. 已知的坐标，分别求）。

（1）；

（2）

2. 已知若与的夹角为锐角，求的取值范围。

3. 在正方形中，分别是的中点，求证：垂直于。