专题17 解三角形（正、余弦定理） 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题17 解三角形（正、余弦定理） 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共38页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87601921" 常考点01正、余弦定理的选择 PAGEREF _Tc87601921 \h 1
\l "_Tc87601922" 常考点02 边角互换 PAGEREF _Tc87601922 \h 3
\l "_Tc87601923" 常考点03 三角形的面积 PAGEREF _Tc87601923 \h 5
\l "_Tc87601924" 常考点04 判断三角形的形状 PAGEREF _Tc87601924 \h 8
\l "_Tc87601925" 常考点06 几何问题 PAGEREF _Tc87601925 \h 10
\l "_Tc87601926" 常考点06 三角形中的最值问题 PAGEREF _Tc87601926 \h 14
\l "_Tc87601927" 常考点07 正余弦定理在实际问题中的应用（测距、测高、测角等） PAGEREF _Tc87601927 \h 18
\l "_Tc87601928" 易错点01 忽略隐含条件致误 PAGEREF _Tc87601928 \h 24
\l "_Tc87601929" 易错点02 对锐角三角形理解不到位致误 PAGEREF _Tc87601929 \h 24
\l "_Tc87601930" 易错点03 解三角形增解或漏解 PAGEREF _Tc87601930 \h 25
\l "_Tc87601931" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87601931 \h 26
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01正、余弦定理的选择
【典例1】（2021·浙江）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】由已知得，根据正弦定理： ，故.故选：D.
【典例2】（2021·四川攀枝花市·高三三模）在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.故选：B.
【技巧点拨】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
【变式演练1】（2021·上海华师大二附中高三三模）已知中，，则___________.
【答案】2或4
【解析】，，，
或
当时，，,
当时，,为等腰三角形，故故答案为：2或4
【变式演练2】（2021·陕西高三三模）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（ ）
A．1或2B．1或C．1D．3
【答案】A
【解析】，化简得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故选：A．
【变式演练3】（2021·安徽安庆市）在中，a，b，c分别是的对边．若a，b，c成等比数列，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得，因此可化为．
于是，又，所以．故选：A．
常考点02 边角互换
【典例1】（2021·湖南株洲市·高三二模）在中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，又所以故选：A
【典例2】（2021·四川高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于
【答案】
【解析】，
∴，又，则，∴，，
又，故，∴.
【技巧点拨】
1.若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
2. 利用正、余弦定理解三角形的注意事项：
（1）注意隐含条件“”的使用；
（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为.
【变式演练1】（2021·宁夏高三）在中，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理得，
，
因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．故选：A．
【变式演练2】（2021·广西高三）锐角内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【解析】，，
为锐角三角形，，，，.故选：C.
【变式演练3】（2021·江西九江市）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理得，
即，
所以，
所以，
是三角形内角，所以，所以，，
，又，所以，即．故答案为：．
常考点03 三角形的面积
【典例1】（1）（2021·江西高三）中，，，，则的面积为（ ）
B．C．或D．或
（2）（2021·兰州市第二十七中学）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为，故，故为锐角，所以，
故，解得或，
故或，故选：C.
（2）∴
∴，∴
∴.故选：A.
【典例2】（2021·河南高三）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】因为的面积为，所以，解得．
又，由余弦定理可得，所以，
所以的周长为，
设的内切圆的半径为，则，
解得．故答案为：.
【技巧点拨】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解
【变式演练1】（2021·安徽黄山市）在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，，则角（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理得，
因为的面积，所以，
因为，所以，故或．故选：C．
【变式演练2】（2021·四川雅安市）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中， ，所以，
又因为，所以，
因为，所以，且，所以，
又因为，，所以的面积为，故选：D
【变式演练3】（2021·全国高三专题练习），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ）
A． B． C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【解析】∵，∴，∴.
由余弦定理得，整理得，又，
∴，.周长为.
故的面积为.故选：ABD
常考点04 判断三角形的形状
【典例1】（1）（2021·四川省内江市第六中学）若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
（2）（2021·全国高三）在中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）三个内角所对的边分别为，
，
设，，
最大角为锐角，为锐角三角形.故选:A.
（2）由三角函数的诱导公式，可得，
又由正弦定理得，即，可得，
因为，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.
【典例2】（2021·福建）设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】因为的三个内角成等差数列，所以 ,
又因为、、成等比数列，所以
所以
即
又因为 所以故选B
【技巧点拨】
1.判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【变式演练1】（2021·甘谷县第四中学）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【变式演练2】（2021·安徽高三月考）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】，解得，，则，
∵，∴由正弦定理得，
，，
，因为，∴，∴，
∴，，是直角三角形、故选：B．
【变式演练3】（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，是直角三角形B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形D．当时，是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；
对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
显然是等腰三角形，，
说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；
对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：.
常考点06 几何问题
【典例1】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，csB＝，求AD的长度为______________．
【答案】
【解析】因为csB＝，所以sinB＝，
sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+sinCcsB＝，
由正弦定理得，所以a＝2，因为D为BC的中点，BD＝，
△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcsB＝26，所以AD＝．故答案为：．
【典例2】（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，求三角形ABD的面积；（2）若求的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由，可得，
在中，由正弦定理知，可得．
所以
（2）由，
在中，由正弦定理知，
又，所以sin∠ABD=cs∠CBD
从而有两式相除可得
又由
因此有，由可得
（延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分）
【技巧点拨】
根据图形分析选择合适的公式计算即可，有需要可适当添加辅助线。
【变式演练1】（2021·浙江温州市·高三三模）如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．
【答案】
【解析】∵∴且B为钝角，
根据正弦定理得到：∴即
又∵B为钝角，所以为锐角且
∴
∴∴.故答案为：.
【变式演练2】（2021·安徽高三一模）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）
A．6B．9C．7D．8
【答案】D
【解析】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．故选：D.
【变式演练3】（2021·上海市七宝中学）如图，在四边形中，.求：（1）的长度；（2）三角形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理可得：
，则；
（2）在中，，
，
由正弦定理可得，
所以，
则.
常考点06 三角形中的最值问题
【典例1】（1）（2021·四川高三月考）在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
（2）（2021·北京人大附中）在中，，，则的最大周长是（）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）
因为的面积等于与的面积之和，
所以，
又因为，，代入得，
又因为，所以，得，
当且仅当时取等号．所以的面积的最小值为．故选B．
（2）由余弦定理知，,即，
故，当且仅当时等号成立
解得，又，所以，故周长，故选：B
【典例2】（2021·江西）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccsA+acsC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为
【答案】
【解析】，
由余弦定理可得，整理可得，
又AC边上的高为，所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，，则，
，故∠ABC的最大值为.
【技巧点拨】该类问题一般利用正、余弦定理建立等量关系，在结合均值不等式、三角函数或函数求出最值（范围）即可。
【变式演练1】（2021·甘肃）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为
【答案】
【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，则为的重心，因为，故，则.
，，
所以，，
即
，
所以，，
，当且仅当时，等号成立.
因此，周长的最大值为.
【变式演练2】（2021·湖南益阳市·高三二模）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，整理可得，
所以由余弦定理可得
即结合正弦定理可得即，
因为， ，所以，可得，
又因为为锐角三角形，所以，可得，所以
又因为
所以