专题16 三角恒等变换 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题16 三角恒等变换 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共36页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87590197" 常考点01 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用 PAGEREF _Tc87590197 \h 1
\l "_Tc87590198" 常考点02 两角和与差的正切公式的应用 PAGEREF _Tc87590198 \h 4
\l "_Tc87590199" 常考点03 二倍（半）角公式的应用 PAGEREF _Tc87590199 \h 6
\l "_Tc87590200" 常考点04 简单的三角恒等变换---化简与证明 PAGEREF _Tc87590200 \h 9
\l "_Tc87590201" 常考点05 三角函数模型的应用 PAGEREF _Tc87590201 \h 11
\l "_Tc87590202" 常考点06 函数的图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc87590202 \h 16
\l "_Tc87590203" 易错点01 忽视角的范围致误 PAGEREF _Tc87590203 \h 21
\l "_Tc87590204" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87590204 \h 22
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例1】（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，则：，，
从而有：，即.故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
【典例2】（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.
【详解】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，
又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，
所以，
又因为，
所以，故选：D.
【技巧点拨】
1.三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、csα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．
【变式演练1】（2019·全国高考真题（文））tan255°=
A．－2－B．－2+C．2－D．2+
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
【变式演练2】（2021·山东聊城高三期中）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由角的终边经过点，得，
因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，
所以
，故选：.
【变式演练3】（2021·河南鹤壁高考模拟）平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
【答案】
【解析】由题意知：，，由，得，


，故答案为：.
常考点02 两角和与差的正切公式的应用
【典例1】（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.
【答案】
【解析】根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，
所以.故答案为：.
【典例2】（2021·安徽高三其他模拟）已知，为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【详解】因为，为锐角，所以.所以，，
又，则.故选：C.
【技巧点拨】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
【变式演练1】（2021·河南焦作市）若，则
【答案】
【解析】因为，
所以，解得，
则故选：A.
【变式演练2】（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是_______.
【答案】
【解析】由进行转化，可得答案.
【详解】
解：由
故答案为：.
【变式演练3】（2021·湖南衡阳市八中高三模拟）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正切的二倍角公式求得，再由可求.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
常考点03 二倍（半）角公式的应用
【典例1】（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】，
，，，解得，
，.故选：A.
【典例2】（2018·全国高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，
因为，解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
【技巧点拨】
1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
2.已知θ的某个三角函数值，求eq \f(θ,2)的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可
【变式演练1】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】，
，当时，，故函数的最小值为．
【变式演练2】（2019·全国高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
【变式演练3】（2021·河南高一月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2
【解析】（Ⅰ）由题意得：
原式
（Ⅱ）， =．
常考点04 简单的三角恒等变换---化简与证明
【典例1】（2021·湖南·长郡中学）设，，化简
【答案】
【解析】因为，，所以
，
【典例2】（2021·重庆一中高三其他模拟）已知，，，，则______．
【答案】
【解析】注意综合已知条件，进一步缩小的范围，以及的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出，, 的值，由，利用两角差的正弦公式计算.
【详解】，∴，，∴，又∵，
∴，∴，，,
又∵，∴，又∵，∴，
∴,故答案为：.
【技巧点拨】
1.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
【变式演练1】（2021·四川眉山市）计算______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【变式演练2】（2021·千阳县中学高三其他模拟）已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，故.故答案为：.
【变式演练3】（2021·陕西西安市·交大附中高三）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，
则，.故选：A
常考点05 三角函数模型的应用
【典例1】（2021·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ）
A． B． C． D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
【答案】ABD
【解析】由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解．
【详解】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，则，故B正确；
振幅A为筒车的半径，即，故A正确；
由题意，t=0时，d=0，，即 ，
，∴，故C错误；，
由d=6，得，
得
∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．故选：ABD．
【典例2】（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【解析】（1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；
（2）由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.
【详解】（1）
由图象可知，，则有
又因为时取最大值6.5，可得，所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.令，得
得，即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【技巧点拨】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式演练1】（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为B．C．舒张压为D．
【答案】B
【解析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，，利用周期公式求出得解．
【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确； 周期，知，所以选项B错误；
由题得，所以所以选项D正确.故选：B
【变式演练2】（2021·兰州市第二中学高三月考（文））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】有题意设，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果.
【详解】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，
周期为120s，，最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，
所以，
当t=0时，H=0，，所以.故选：A.
【变式演练3】（2021·广东深圳市·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【解析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；故选:BC.
常考点06 函数的图象与性质的综合应用
【典例1】（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
【典例2】（2021·江西新余市·高三期末）已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；
（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.
【详解】解：（1）， ，
.
（2）当时，，可得，
由，不等式可化为
，有.
令，，则，
若不等式恒成立，则等价于，解得：.
故实数的取值范围为.
【技巧点拨】
1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
2.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
【变式演练1】（2018·上海高考真题）设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．
【答案】(1);(2)或或.
【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【详解】（1）∵，∴，
∵为偶函数，∴，∴，
∴，∴；
（2）∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，或，
∴，或，
∵，∴或或
【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
【变式演练2】（2021·全国高三（文））已知，函数．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若的最大值是，求的值．
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意
由，得．
所以单调的单调递增区间为，.
（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，故．
【变式演练3】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，
将的图象向左平移个单位得到，所以，
因为实数，满足，所以中一个取最大值1，一个取最小值
不妨取，所以，解得，
，解得，所以，
，当时，，所以时，，
因为，所以，所以的最小取值为，故选：A.
易错点01 忽视角的范围致误
【例1】已知sin α＝eq \f(\r(5),5),sin β＝eq \f(\r(10),10),且α,β为锐角,则α＋β＝________.
【错解】∵α、β为锐角,∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5),cs β＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(3\r(10),10).
∴sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又0