专题15 三角函数的图象与性质 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题15 三角函数的图象与性质 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共44页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87590119" 常考点01 三角函数的定义域和值域 PAGEREF _Tc87590119 \h 1
\l "_Tc87590120" 常考点02三角函数的单调性 PAGEREF _Tc87590120 \h 3
\l "_Tc87590121" 常考点03 三角函数的周期性 PAGEREF _Tc87590121 \h 7
\l "_Tc87590122" 常考点04 三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc87590122 \h 9
\l "_Tc87590123" 常考点05 三角函数的对称性 PAGEREF _Tc87590123 \h 12
\l "_Tc87590124" 常考点06 三角函数的零点 PAGEREF _Tc87590124 \h 15
\l "_Tc87590125" 常考点07 三角函数的伸缩平移 PAGEREF _Tc87590125 \h 18
\l "_Tc87590126" 常考点08 求三角函数解析式（已知函数图象） PAGEREF _Tc87590126 \h 22
\l "_Tc87590127" 常考点09 三角函数的图象和性质的应用 PAGEREF _Tc87590127 \h 27
\l "_Tc87590128" 易错点01 求三角函数最小正周期,非等价变形致误 PAGEREF _Tc87590128 \h 31
\l "_Tc87590129" 易错点02 求解三角函数图象平移变换问题,平移方向或平移单位出错 PAGEREF _Tc87590129 \h 32
\l "_Tc87590130" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87590130 \h 33
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 三角函数的定义域和值域
【典例1】（2021·辽宁）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于函数，，可得，
解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
【典例2】（2021·绵阳南山中学实验学校）函数的最小值是（ ）
A．-3B．-1C．D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，
令，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为.故选：C.
【技巧点拨】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cs x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
【变式演练1】（2021·上海高一课时练习）函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】首先根据正切函数的定义得到，，再解不等式即可.
【详解】因为，所以，，
解得，因为，所以 故答案为：
【变式演练2】（2020·上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_________，_________.
【答案】
【解析】由已知得，解得. 故答案为：；.
【变式演练3】（2017新课标2）函数fx=sin2x+3csx-34（x∈0,π2）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式，
则fx=1-cs2x+3csx-34=-cs2x+3csx+14= -(csx-32)2+1，
由x∈[0,π2]可得csx∈[0,1]，当csx=32时，函数f(x)取得最大值1．
常考点02三角函数的单调性
【典例1】（2021·全国新高考1卷真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
【典例2】（2021·全国高三其他模拟（理））若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，函数单增应满足，解得参数范围即可.
【详解】由知，，在区间上单增，应满足：
，，解得
又，易知k只能取0，解得故选：B
【技巧点拨】
常见考题类型：1．求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小.
1.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.
【变式演练3】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，
①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；
④函数的单调递增区间是.
其中正确的（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【解析】由题得，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，对称轴方程为，故②不正确，③正确；
令，得的单调递增区间是，故④正确.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；
令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选：D.
常考点06 三角函数的零点
【典例1】（2021·全国高三模拟（理））函数在上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】通过令，得到，分别画出两个函数图象，找交点即可．
【详解】令，得．
分别画出函数的图象，
由图可知，的对称轴为，的对称轴为．
所以所有零点之和为．故选：B．
【典例2】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟）已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，所以所包含的两个零点为，则当时，，求解可得的范围.
【详解】解：因为，且ω>0，所以，
又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.
【技巧点拨】重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题．
【变式演练1】（2021·河南商丘市·高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可．
【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3．
故选：B.
【变式演练2】（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：．
【变式演练3】（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数的图象向右平移个单位长度得y=g(x)的图象，若函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数的平移可得，结合三角函数的图象与性质可得满足的不等式，即可得解.
【详解】由题意，，当时，，
因为函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，
则或，，
又，所以.故选：B.
常考点07 三角函数的伸缩平移
【典例1】（2021·江苏连云港市）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
【答案】C
【解析】对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
【典例2】（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是的变换，图象向左平移个单位，对应替换成,图象向右平移a个单位，对应x替换成,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中替换成.
【技巧点拨】
1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的．
2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的eq \f(1,ω)倍，而不涉及φ．
3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，即x→x＋eq \f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．
【变式演练1】（2021·浙江）已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍 D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.故选：C
【变式演练2】（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为； ②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
答案：B
解答：因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.故选：B.
【变式演练3】（2021·全国高三其他模拟）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
在上的值域为时，，
当时，，而当时，，
，．故选：C.
常考点08 求三角函数解析式（已知函数图象）
【典例1】（2021·安徽省泗县）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
【答案】C
【解析】根据函数的部分图象，
可得，，∴.再根据五点法作图，可得，
∴，.排除A；排除B；
在上，，方程在上有两个不相等的实数根，则实数，故C正确；将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；故选C.
【典例2】（2020·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【技巧点拨】
1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．
(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
(2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－eq \f(φ,ω)，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；
“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．
在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－eq \f(φ,ω)，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．
2.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
【变式演练1】（2021·山东五莲高三月考）函数的部分图象如图所示，则___；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则___.
【答案】
【解析】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，，所以，，
因为，所以.所以，
将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，
因为函数是偶函数，所以，，所以，，
因为，所以，.故答案为：；.
【变式演练2】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
【答案】ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
【变式演练3】（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．若，则的值为
【答案】BD
【解析】由函数的部分图象知，，且，
所以，解得；又，所以，
即，；又，所以；所以．
对于：函数的最小正周期，不对；
对于：当时，可得，则关于点，对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，错误；
对于：，所以，所以，所以
，对故选：．
常考点09 三角函数的图象和性质的应用
【典例1】（2021·河南高二月考（文））已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出，再由对称轴确定，代入可求出结果.
【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是，所以，，所以，
又，且，则，
所以，则.故选：D.
【典例2】（2021·四川高三模拟（理））已知函数的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断不正确的是（ ）
A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．时，函数的最小值为
D．函数在上单调递减
【答案】C
【解析】根据最大值为2，可得A，根据正弦型函数的周期性，可求得，根据对称性，可求得，即可得解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】由题意得A=2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，可得，所以，所以，
因为为对称中心，所以，
因为，令k=0，可得，所以.
对于A：将的图象向右平移个单位，
可得，故A正确；
对于B：令，解得，
令k=1，可得，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以当时，，故C错误；
对于D：令，解得，
令k=0，可得一个单调减区间为，
因为，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：C
【技巧点拨】
【变式演练1】（2021·广西钦州一中高三开学考试）关于函数有如下四个命题：
①的图像关于轴对称. ②的图像关于原点对称.
③的图像关于直线对称. ④的图像关于点对称.
其中所有真命题的序号是__________.
【答案】①④
【解析】对于①，定义域为，显然关于原点对称，
且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；对④，，，
则，命题④正确.故答案为：①④.
【变式演练2】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）函数在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法1：将问题等价转化为函数在内有且仅有一个极大值点的问题；
解法2：考虑函数在的最大值后再解不等式.
【详解】解法1：因为，所以函数在内有且仅有一个极大值点等价于函数在内有且仅有一个极大值点.若在上有且仅有一个极大值点，则，解得.选项A正确.故选：A.
解法2：令，可得极大值点，其中.
由，可得，由题设这个范围的整数有且仅有一个，因此，
于是正数的取值范围为，选项A正确.故选：A.
【变式演练3】（2021·全国高三其他模拟）函数，．若在上的最大值为1，则（ ）
A． B．
C．，使在区间上为减函数 D．若的图象关于对称，则的最小值为
【答案】AB
【解析】对于A：利用直接求出；
对于B：由在上的最大值为1，判断出，求得的范围；
对于C：利用导数在0附近的区间是增区间，即可判断；
对于D：由对称轴求出,进而最小即可判断.
【详解】对于A：因为函数，，即，又解得，故A正确；
对于B：因为若在上的最大值为1，可得，解得：，故B正确；
对于C：因为，所以，所以在0附近的区间是增区间，故C错误；
对于D：因为的图象关于对称，可得：，解得：,
因为，故当时，最小，故D错误.故选：AB
易错点01 求三角函数最小正周期,非等价变形致误
【例1】函数得最小正周期为 .
【错解】因为,所以 的最小正周期，
，因为
,所以,,故选A.
【错因分析】忽略了与定义域不相同,对定义域内的不成立,所以不是的周期.
【正解】
【纠错笔记】在周期函数定义中,注意对定义域内任意x都成立.
易错点02 求解三角函数图象平移变换问题,平移方向或平移单位出错
【例2】要得到y＝sin(－3x)的图象,需将y＝eq \f(\r(2),2)(cs 3x－sin 3x)的图象
A．向右平移eq \f(π,4)个单位 B．向左平移eq \f(π,4)个单位
C．向右平移eq \f(π,12)个单位 D．向左平移eq \f(π,12)个单位
【错解】选A,B,C.
【错因分析】y＝eq \f(\r(2),2)(cs 3x－sin 3x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))))).
题目要求是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,4)))→y＝sin(－3x)．右移eq \f(π,4)平移方向和平移量都错了；右移eq \f(π,12)平移方向错了．
【正解】 y＝eq \f(\r(2),2)(cs 3x－sin 3x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))))),要由y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))到y＝sin(－3x)只需对x加上eq \f(π,12)即可,因而是对y＝eq \f(\r(2),2)(cs 3x－sin 3x)向左平移eq \f(π,12)个单位,故选D.
【纠错笔记】函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±eq \f(φ,ω),所以平移的距离并不是φ.
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·安徽）函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.故选：A.
2．（2021·宁夏石嘴山市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，的图象是将的图象中轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为；
当时，，∴在上单调递减，故A不正确；
对于B，当时，，当时，，所以周期不是，故B不正确；
对于C，的最小正周期为，当时，，单调递增，故C正确；
对于D，的最小正周期为，当时，，不是单调递增的，故D不正确.故选：C.
3．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
4．（2021·全国高三月考）将曲线图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的周期为
C．的单调递增区间为
D．的单调递增区间为
【答案】D
【解析】A，，故A错误；
B，由，故B错误；
由题意可得，
则，
解得，
故的单调递增区间为，故C错误、D正确.故选：D
5．（2021·浙江高三其他模拟）函数y=在[-2，2]上的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.
【详解】,
当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A;,故排除CD,故选：B
6．（2021·上海）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】A
【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.故选：A
7．（2021·黑龙江大庆市）已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，其中，
因为直线是曲线的一条对称轴，可得，
所以，所以，
所以，
又因为，所以.故选：A.
8．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可得，即可求出.
【详解】由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即. 故选：A.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，，为奇函数，A错误；
对于B，，，，为偶函数，故B正确；
对于C，，，不符合，故C错误；
对于D，，，周期为π，，为偶函数，故D正确；故选：BD
10．（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cs2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
【答案】AC
【解析】对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），
由于|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝．
由于f（0）＝，所以A，解得A＝．所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），解得：（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；故选：AC．
11.（2021·全国高三其他模拟）已知函数图象的一条对称轴为，，且在内单调递减，则以下说法正确的是（ ）
A．是其中一个对称中心 B． C．在单増 D．
【答案】AD
【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.
【详解】∵f(x)关对称，，f(x)在单调递减，
，B错误；
令，可得
当时，即关于对称，A正确；
令得∴在单调递増，即C错误；
，D正确，故选：AD.
12.（2021·全国高三其他模拟）已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（ ）
A．函数与有相同的周期
B．函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同
C．若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则
D．若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则
【答案】ACD
【解析】先求出的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.
【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数的图象向右平移个单位长度得，所以函数与的周期都为，所以选项正确；函数的对称中心为，函数的对称中心为，当时，对称中心可以相同，所以选项不正确；若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则，解得，所以选项正确记，所以函数的图象与直线右边最近两个交点横坐标为和，左边最近两个交点横坐标为和，令，得，所以，所以正确．故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国高三课时练习）的最小正周期为π，则ω＝__________.
【答案】或
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可
【详解】解：因为的最小正周期为π，
所以，解得故答案为：或
【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题.
14．（2021·浙江）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
15.（2021·上海高三专题练习）函数的最大值是____，最小值是_________.
【答案】
【解析】
即， 故答案为：；
16．（2021·武威第六中学高三其他）定义域为的偶函数满足，当时，，给出下列四个结论：① ；②若，则；
③函数在内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是______.
【答案】①③
【分析】由得函数关于点中心对称，又为偶函数，所以可推得的周期为4，又得，且当时，，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.
【详解】由得函数关于点中心对称，
又，，
为上的偶函数，，
，，的周期为4，
当时，得，
又当时，，所以函数图象如图：
由图知，，，故①正确；
又，从而可知②不正确；
当时，，故③正确.故答案为：①③
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性等性质，考查了函数零点的个数判断，考查了数形结合，函数与方程的思想.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （2021·陕西省汉中中学（理））已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及其对应的的值.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）解：∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,, ∴,,
∴,,∴的单调递增区间为
（2）解：∵,∴,∴,
∴,∴,∴,
当时,, 当,即时,
18．（2021·山东济南�高三其他）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间上所有解的和.
【答案】（1）满足的条件为①③；（2）
【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.
【详解】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为，，，，
所以方程在区间上所有的解的和为.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.
19．（2021·江西省宜丰中学高一月考）已知函数.
（1）若点是角终边上一点，求的值；
（2）令，若 对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）.
【分析】(1) 由三角函数定义求出，代入化简即可；
(2)化简可得，把看成自变量，根据二次函数求最大值，建立关于的不等式即可求解.
【详解】（1）若点在角的终边上，则，
∴.
（2）由已知得，
∵，∴，∴当时，有最大值，最大值为，
则，∴.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，二次函数的最值，不等式恒成立，属于中档题.
20．（2021·土默特左旗金山学校高一月考（理））已知函数的某一周期内的对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据图表得到函数关于对称，关于点中心对称，据此计算得到答案.
（2）根据周期计算，画出函数图象，根据图象得到答案.
【详解】（1）根据表格知函数关于对称，且为最大值点，故.
和关于点对称，故是函数的中心对称点，
，故，故，故，，
，，，，当时，满足条件，
故.
（2），，，
时，，画出函数图象，如图所示，根据图象知：.
【点睛】本题考查了求三角函数解析式，根据三角函数解的个数问题求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图象是解题的关键.
21．（2021·广东揭阳�高一期中）已知函数.
（1）若当时，函数的值域为，求实数，的值；
（2）在（1）条件下，求函数图像的对称中心.
【答案】（1），；（2）
【分析】(1)根据求出f(x)值域,再结合的值域为得到关于a,b的不等式,然后求出a,b即可;(2)根据(1)求出f(x)的解析式,再根据正弦函数的对称中心,利用整体法求出f(x)的对称中心.
【详解】解:(1)∵,∴,∴,
又∵,∴,∴,
∵函数的值域为,∴,,∴,.
(2)由(1)知,,令,则,
∴在(1)条件下,函数图像的对称中心为.
【点睛】本题考查了三角函数的值域和三角函数对称中心的求法,考查了整体思想和方程思想,属中档题.
22．（2021·上饶中学高一期中）已知函数为偶函数，且函数的图象的两相邻对称中心的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦函数的诱导公式、余弦型函数的最小正周期公式、特殊角的余弦函数值进行求解即可；（2）根据余弦型函数的图象变换过程写出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为为偶函数，所以，
所以.又，所以，所以.
因为函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，所以，
因为，所以，所以，所以；
（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，
所以.
当，即时，单调递增.
所以函数的单调递增区间是.
【点睛】本题考查了通过正弦型函数的性质求解析式，考查了由余弦型函数图象的变换求解析式，考查了余弦型函数的单调性，考查了数学运算能力.