专题二 等差数列的概念 知识精讲 （解析版）

专题二    等差数列的概念一 知识结构图内  容考点关注点  等差数列的概念等差数列的概念从第二项开始等差数列的通项公式 基本量等差中项项的关系等差数列的判定方法等差数列的的定义 二.学法指导1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．等差数列的单调性d＞0⇔等差数列是递增数列．d＜0⇔等差数列是递减数列．d＝0⇔等差数列是常数列．4.数列{an}是公差为d的等差数列(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用．(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….5．下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列．6．若{an}为等差数列，则a1＋a2＋a3＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，…仍为等差数列，且公差为m2d.三.知识点贯通知识点1   等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.例题1.已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.【解析】　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24.知识点二   等差中项的应用等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.例题2：已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．【答案】6　【解析】由题意得∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.知识点三   等差数列的判定与证明等差数列的概念 文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)例题3 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【解析】　(1)数列是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.知识点四    灵活设元解等差数列等差数列的设项方法与技巧1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.2当已知数列有2n项时，可设为a－2n－1d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋2n－1d，此时公差为2d.3当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－n－1d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋n－1d，a＋nd，此时公差为d.例题4．已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．【解析】　法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18.解得a＝6.又前三项的乘积为66.∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于该数列单调递减，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．法二：依题意得∴解得或∵数列{an}是递减等差数列，∴d＜0.故a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．五 易错点分析易错一  构造数列，求数列的项例题5.已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a6＝________.【答案】　【解析】由条件知，－＝5，∴为等差数列，且＝3，∴＝3＋5×5＝28，即a6＝.误区警示
当题中有多个数列时，要分清数列。此题数列为等差数列。