专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系

一、知识点精讲

（一）点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：

（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；

（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

（二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定

(1)设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？

如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有

当直线与圆相切时，如图，为圆的切线，可得，，且在中，

为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.

 (2)设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？

两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.

二、典例精析

【典例1】已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。

【答案】见解析

【解析】连结OD，交AB于点E。

是圆心，

在中，OB=5cm,BE=3cm,

在中，BE=3cm,DE=1cm,

【典例2】已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.

【答案】见解析

【解析】

设圆的半径为，分两种情况：

（1）若在两条平行线的外侧，

如图（1），AB=6，CD=，

则由，得，解得.

（2）若在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=，

则由，得，无解.

综合得，圆的半径为5.

【典例3】设圆与圆的半径分别为3和2，，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度.

【答案】见解析

【解析】

连交于，则，且为的中点，

设，则，解得.

故弦的长为.

三、对点精练

1. ⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。

【答案】见解析

【解析】

取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，

2. 已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。

【答案】见解析

【解析】

O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.

3. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。

【答案】见解析

【解析】

半径为3cm，OE=2cm.,OF=.

4. 若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.

【答案】见解析

【解析】

外公切线长为12，内公切线长为.

5. 画图说明满足下列条件的点的轨迹：

（1）到定点的距离等于的点的轨迹；

（2）到直线的距离等于的点的轨迹；

（3）已知直线，到、的距离相等的点的轨迹.

【答案】见解析

【解析】