专题12 一元二次不等式的解法-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题12 一元二次不等式的解法

一、知识点精讲

【引例】二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：

由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知

当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；

当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；

当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．

这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程

x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3；

一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．

上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．

那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

    为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；

不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－；

不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；

不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．

二、典例精析

【典例1】  解下列不等式：

（1）x2＋2x－3≤0；             （2）x－x2＋6＜0；

（3）4x2＋4x＋1≥0；            （4）x2－6x＋9≤0；

（5）－4＋x－x2＜0．

【典例2】已知不等式的解是求不等式的解．

【说明】：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

【典例3】解关于的一元二次不等式为实数).

【典例4】已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．

三、对点精练

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0；                   （2）x2－x－12≤0；

（3）x2＋3x－4＞0；                  （4）16－8x＋x2≤0．

2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．

3.  解下列不等式：

(1)     (2)

【说明】：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．

4. 求关于的不等式的解．

5.解下列不等式：

(1)   (2)   (3)

6. 已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．

7. 解下列不等式： 

(1)     (2)

【说明】：

(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：