专题10 一元二次函数的简单应用-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题10 一元二次函数的简单应用

一、知识点精讲

（一）、函数图象的平移变换与对称变换

 1．平移变换

【问题1】在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

【典例1】求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

【答案】见解析

【分析】：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

【解析】二次函数y＝2x2－4x+1的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，

其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．

（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1,2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2．

2．对称变换

 【问题2】在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

【典例2】求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

（1）直线x＝－1；

（2）直线y＝1．

【答案】见解析

【解析】（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数

y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为

y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，

即y＝－2x2＋4x＋1．

(二)、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．

【典例3】在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

【答案】见解析

【分析】：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

【解析】设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

【典例4】如图2.2－10所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；

（2）画出y的函数图像

（3）写出y的取值范围。

【答案】见解析

【分析】：要对点P所在的位置进行分类讨论．

【解析】

（1）①当点P在线段AB上移动，即0＜x≤2时，y＝＝x；

②当点P在线段BC上移动，即2＜x＜4时，y＝＝＝4－x；

③当点P在线段CD上移动，即4＜x≤6时，y＝＝＝x－4；

④当点P在线段DA上移动，即6＜x＜8时，y＝

(2) 函数y的图像如图所示

(3)由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．

二、对点精练

1. 选择题：

（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是                     （    ）

（A）（－1，4）   （B）（－1，－4）   （C）（1，－4）    （D）（1，4）

【答案】D

【解析】由二次函数的顶点式可得函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（1，4）

（2）函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况是                             （    ）

（A）有最大值6                     （B）有最小值6  

（C）有最大值10                    （D）有最大值2

【答案】C

【解析】开口向下，有最大值，当x=2时有最大值10

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是     （    ）

（A）－3≤y≤1                      （B）－7≤y≤1 

（C）－7≤y≤11                     （D）－7≤y＜11  

【答案】D

【解析】对称轴为x=-1,当x=-1时有最小值-7，当x=2时函数值趋近于11，所以－7≤y＜11

2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为                   ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为               ．

【答案】见解析

【解析】

（1）设成交点式可求得

（2）设成一般式可求得

3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．

【答案】见解析

【解析】

(1) 设成一般式可求得

(2) 设成顶点式可求得

(3) 设成交点式可求得

(4) 设成交点式，带入顶点坐标可求得

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

【答案】见解析

【解析】设长为x,则宽为，面积，当x=6时，面积最大，此时长为6m,宽为3m,最大面积为为18m2