专题05 一元二次方程（一）-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题05 一元二次方程（一）

一、知识点精讲

（一）一元二次方程根的判别式

我们知道，对于一元二次方程，用配方法可以将其变形为      ．            ①

因为，所以，＞0．于是

（1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根        ；

（3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

二、典例精析

【典例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数.

(1)

(2)

(3)

【答案】见解析

【解析】

(1) ∴该方程有两个不相等的实根。

(2) ∴该方程有两个相等的实根。

(3) ，∴该方程没有实根。

【典例2】用求根公式求解下列方程的根。

(1)

(2)

【答案】见解析

【解析】

(1)

(2)

【典例3】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。

(1)方程有两个不相等的实根

(2) 方程有两个相等的实根

(3) 方程有实根

(4) 方程无实根

【答案】见解析

【解析】

(1)方程有两个不相等的实根

(2) 方程有两个相等的实根

(3) 方程有实根

(4) 方程无实根

【典例4】已知方程，有实数根，求函数的取值范围。

【答案】见解析

【解析】

∵方程有实数根，∴，∴，∵对称轴为，∴当时，

【典例5】已知方程有两个相等的实数根且方程有两个不相等的实数根，化简

【答案】见解析

【解析】

∵方程有两个相等的实数根，∴，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴

（二）一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程有两个实数根

，，

则有   ；

      ．

 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

 如果的两根分别是，那么，．这一关系也被称为韦达定理．

 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若其两根为，由韦达定理可知，，即， 所以，方程可化为由于是一元二次方程的两根，所以也是一元二次方程的两根．因此有以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．

特别说明：利用根与系数求值需要熟练掌握以下等式的变形（★★★★★）

①

②

③

④

⑤

⑥

【典例6】若是方程的两根，试求下列各式的值。

①                                  ②

③                             ④

【答案】见解析

【解析】

∵是方程的两根，∴，

∴①               

②

③          

④

【典例7】已知方程，根据下列条件，分别求出的范围。

①两根都大于0，            

②两根都小于0，

③一根大于0，另一根小于0.

【答案】见解析

【解析】

设方程的两根分别为，则，，

①两根都大于0，           

②两根都小于0，

③一根大于0，另一根小于0.

(三) 对点精练

1.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是____________

【答案】见解析

【解析】

∵一元二次方程有两个不相等的实数根

2.若是方程的两根，则________________

【答案】见解析

【解析】

∵是方程的两根，∴，，∴

3.如果方程的两根相等，则之间的关系是____________

【答案】见解析

【解析】

∵方程的两根相等，

∴

4.若一个直角三角形的两条直角边的长是方程的两根，则这个直角三角形的斜边长为_________________.

【答案】见解析

【解析】∵一个直角三角形的两条直角边的长是方程的两根，

5. 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。

(1)方程有两个不相等的实根

(2)方程有两个相等的实根

(3)方程有实根

(4)方程无实根

【答案】见解析

【解析】

(1)方程有两个不相等的实根

(2) 方程有两个相等的实根

(3) 方程有实根

(4) 方程无实根

6.求证：方程有两个不相等的实根.

【答案】见解析

【解析】

∴方程有两个不相等的实根.

7. 求证：无论取怎样的实数，的值不可能等于10.

【答案】见解析

【解析】

，∴方程无实根，即无论取怎样的实数，的值不可能等于10.

8. 若是方程的两根，试求下列各式的值。 

①                                  ②

③                             ④

【答案】见解析

【解析】

∵是方程的两根，∴，

∴①             

②

③         

④

9. (1)如果是方程的一个根，求该方程的另一个根及的值.

(2)如果是方程的一个根，求该方程的另一个根及的值.

【答案】见解析

【解析】

（1）设方程的两根分别为，，由得，又

（2）设方程的两根分别为，，

由，又

10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根.

（1）求的取值范围

（2）是否存在实数，使得方程的两实数根互为相反数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由？

【答案】见解析

【解析】

（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实根，

∴

（2）若存在实数，使得方程的两实数根互为相反数，则，

又∵，∴这样的不存在。

11. 已知：关于的一元二次方程

（1）求证：无论取怎样的实数，方程总有两个不相等的实根。

（2）若方程的两根为，且，求的值.

【答案】见解析

【解析】

（1）,∴无论取怎样的实数，方程总有两个不相等的实根。

(2) 方程的两根为,,,又∵