专题03 因式分解（一）-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题03 分解因式（一）

一、知识点精讲

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用.因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等，主要方法有：十字相乘法（重中之重）、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能。

二、典例精析

（一）提取公因式法

【典例1】分解因式：

（1）；         (2)

（二）公式法

【典例2】分解因式：

(1)                      (2)

（三）分组分解法

【典例3】分解因式：

(1)                      (2)

（四）配方法

【典例4】分解因式：

(1)                      (2)

（五）拆项添项法

【典例5】分解因式：

(1)                      (2)

（六）求根公式法

【典例6】分解因式：

(1)                      (2)

（七）十字相乘法（★★★★★）

（Ⅰ）一元二次三项式型式子的因式分解

我们来讨论 这类二次三项式的因式分解，这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是：

①二次项系数是1；

②常数项是两个数之积；

③一次项系数是常数项的两个因数之和.

对这个式子先去括号，得到，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即.

因此.运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。

【典例7】分解因式：

(1)                      (2)

(3)                      (4)

（Ⅱ）一元二次三项式型式子的因式分解

我们知道，反过来，就得到.我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成 ，并且把排列如图：

这里按斜线交叉相乘再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成 (其中位于上图上一行， 位于下一行.像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

【典例8】分解因式：

(1)                       (2)

(3)                     (4)

(5)                    (6)

三、对点精练

1.把下列各式分解因式

（1）

（2）

（3）

（4）

2.把下列各式分解因式

(1)                      (2)

(3)                    (4)

(5)                  (6)

3.把下列各式分解因式

(1)                      (2)

(3)                           (4)

(5)                            (6)

(7)                   （8）

4.把下列各式分解因式

(1)                      (2)

(3)                     (4)

(5)                        (6)

(7)                        （8）

5.把下列各式分解因式

(1)                       (2)

(3)                     (4)

(5)                   (6)