专题11 一元二次函数的最值问题-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题11 一元二次函数的最值问题

一、知识点精讲

1．二次函数的最值．

二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：在（其中）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；

第二步：讨论：

[1]若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；

②对称轴，即对称轴在的内部；

③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。

[2] 若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；

②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。

二、典例精析

【典例1】求下列函数的最大值或最小值．

 （1）；        （2）．

【典例2】当时，求函数的最大值和最小值．

【说明】：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【典例3】当时，求函数的取值范围．

【典例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．

【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

三、对点精练

1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

4．已知函数在上的最大值为4，求的值．

5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．