第一章《三角函数》（培优题）达标检测（一）-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

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第一章《三角函数》（培优题）达标检测（一）【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1．已知 且，则角的终边所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.【详解】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.2．已知函数，若，，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据三角函数解析式及，，有，结合得到即可求的最小值.【详解】依题意，，，故，即，故，解得，；因为，故的最小值为.故选：B【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数的关系求最值.3．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是，②图象关于点对称，③在上为减函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.【详解】对于A项，，故A错误；对于B项， ，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；对于C项，；当时，，则其图象关于点对称；当 ，，函数在区间上单调递减，则函数在区间单调递减，故C正确；对于D项，当时，，故D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.4．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（    ）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【分析】由，求得，得到所以，再结合三角函数的图象变换和性质，可得，再利用三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得，所以，解得，所以，又由函数的图象向右平移个单位长度后，可得，因为函数的图象关于原点对称，可得，因为，可得，即，因为，所以函数关于点对称，所以A正确，B不正确，D不正确；又由，所以不是函数的对称轴，所以C不正确.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数图象变换是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知 ，，，，那么的大小关系是(   )A．      B．      C．      D．【答案】A【详解】∵，是第二象限角，故，，，即成立，故选.6．某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价（单位：元/平方米）与第季度之间近似满足关系式：.已知第一、二季度的平均单价如下表所示：一二则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把和分别代入解析式，求得，进而得到的表达式，结合三角函数的性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，把和分别代入，得.因为，设，或.则或，，所以或，因为，所以，所以，故此楼盘在第三季度的平均单价大约是元/平方米.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程，即可得到答案．【详解】由题意，将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线的图象，令，解得，所以对称轴方程为．故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知扇形OAB的圆心角为，其面积是4cm2，则该扇形的周长是（    ）cm.A．10 B．4 C． D．【答案】A【解析】由题意得，设扇形的半径为，若扇形的圆心角为，则根据扇形的面积公式可得扇形的周长是，故选A.9．已知函数是定义在R上的偶函数，且周期为.当时，，下列结论正确的是（    ）A．函数的一条对称轴是 B．函数的一个单调递增区间为C． D．函数的值域为【答案】A【分析】由三角函数的图象结合函数周期性、奇偶性可得函数的图象，数形结合即可得解.【详解】因为函数是定义在R上的周期为的偶函数，且当时，，所以可画出函数的图象，如下：由函数图象可得：对于A，函数的一条对称轴为，故A正确；对于B，函数在上不单调，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，函数的值域为，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数图象及函数周期性、奇偶性的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.10．函数的部分图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】化简函数，得出函数为奇函数，在结合，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D，又由，排除C，故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、多选题11．已知函数（）在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期B．函数在上存在，，满足C．函数在单调递增D．的取值范围是【答案】ABD【分析】设在有且仅有3个零点，，，且.A，最小正周期即可判断；B，取，，满足，，即可判断；D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，再列出不等式，解之即可判断；C，由选项D可知，可取，此时，比较和的大小即可判断.【详解】解：设在有且仅有3个零点，，，且，对A，最小正周期，即A正确；对B，在上存在，，满足，，所以可以成立，即B正确；对D，令，，则函数的零点为，，所以函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，因为函数在有且仅有3个零点，所以，解得，即D正确；对C，由D选项可知，，不妨取，此时，所以，，即，并不满足在单调递增，即C错误.故选：ABD.【点睛】本题考查三角函数的性质，结合正弦函数性质，只要把作为一个整体，与正弦函数对比即可得出相应性质．12．已知函数，则(    )A．的值域为B．的单调递增区间为C．当且仅当时，D．的最小正周期时【答案】AD【分析】根据三角函数的性质可得当时，，当时，，结合图象逐一判断即可.【详解】当，即时，；当，即时，.综上，的值域为，故A正确；的单调递增区间是和，B错误；当时，，故C错误；结合的图象可知的最小正周期是，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，得出函数的解析式是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．设，其中、、、，若，则等于_______.【答案】【分析】利用诱导公式可得出，然后利用诱导公式可得出的值.【详解】由题意可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要得出所求代数式与已知代数式之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.14．函数在区间上有50个最大值，则的范围__________．【答案】【分析】根据函数在区间上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足求解.【详解】因为函数在区间上有50个最大值，第一个最大值为： ，第二个最大值为： ，第三个最大值为： ，…第50个最大值为： ，第51个最大值为： ，所以 ，解得 ，综上：的范围是.故答案为：【点睛】易错点点睛：本题容易忽视第50个和第51个最大值要满足.15．已知函数 (n∈Z)，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(102)＝________.【答案】【分析】首先根据函数解析式求得函数的周期为12，并且求得f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(12)＝0，从而将式子简化，利用特殊角的正弦值求得结果.【详解】由诱导公式知，∴，且f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(12)＝0，102＝12×8＋6，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(102)＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(6).故答案为：.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有正弦型函数的周期性的应用，特殊角的三角函数值，属于简单题目.16．设函数的图象为C，给出下列命题：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是减函数；③函数是奇函数；④图象C关于点对称.其中，错误命题的是______.【答案】②③④【分析】根据函数的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论.【详解】解：①由，，得，，令，直线为函数图象的对称轴，故图象C关于直线对称，故①正确；由，，得，，令，得函数在区间内是增函数，故②错误；，故函数不是奇函数，故③错误；由，，得，，图象C不关于点对称，故④错误.故答案为：②③④.【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题17．一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.【答案】弧度，最大面积【分析】设扇形的半径为，得出弧长为，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为，其周长为，则扇形弧长为，且，扇形面积，当，时，取最大值为，所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为.【点睛】本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.18．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两条对称轴之间的距离为,且图象上一个最低点为M.(1)求ω,φ的值；(2)求f(x)的图像的对称中心；(3)当x∈时,求f(x)的值域.【答案】（1）ω=2, φ=（2）见解析（3）[-1,2]【分析】(1) 由最低点为M得A=2. 由相邻的两条对称轴之间的距离为求出ω的值，再根据最小值点求出φ=.（2）令求出函数的对称中心.(3)先求出 2x+∈，再利用三角函数的图像和性质求出函数的最大值和最小值，即得函数的值域.【详解】(1)由最低点为M得A=2.由相邻的两条对称轴之间的距离为得=,即T=π,ω===2,由点M在图象上得,即,故+φ=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,因为0<φ<，所以φ=.（2）令，所以f(x)的图像的对称中心为.(3)因为x∈,所以2x+∈.当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为[-1,2].【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的解析式和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知定义在R上的函数的最大值和最小值分别为m、n，且函数同时满足下面三个条件：相邻两条对称轴相距；；．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递减区间及其对称轴；(3)求函数在区间上的值域．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】相邻两条对称轴相距，从而周期，求出的值，由，得，结合求得的值即可确定函数的解析式；由，，能求出函数的单调减区间；由，能求出函数的对称轴．由，得，由此能求出函数在区间上的值域．【详解】相邻两条对称轴相距，周期，，又，，又，，，由，可知，即，，解得，，又，，由，，，函数的单调性减区间为，．由，得，，解得，，函数的对称轴为，．，，函数在区间上的值域为．【点睛】本题考查三角函数的解析式、减区间、对称轴、值域的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求函数的值域；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由最值求解A，由已知特殊点可求周期，进而可求ω，然后由点的坐标代入可求φ，即可求解函数解析式，进而求得单调增区间；（2）由x的范围，结合正弦函数的性质可求函数的值域；（3）结合已知及诱导公式及正弦函数的对称性可求．【详解】(1)由题意可得,A=3,，所以T=π,ω=2,f(x)=3sin(2x+φ)，又,且，故，解得，令，解得，所以增区间为；(2)由,可得，∴，∴即函数的值域；(3)由可得，所以,，因为方程f(x)=1在上有两个不相等的实数根，，所以，即，不妨设，且，则.【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质、单调性及诱导公式的综合应用，属于中等题.21．已知函数（，）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为.（1）求函数的单调递增区间.（2）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据相邻对称中心的距离求出周期，得的值，根据对称轴求出，得出解析式，即可得到函数的增区间；（2）将方程有实数根转化为两个函数有交点，求值域的问题.【详解】（1）因为函数两相邻对称中心之间的距离为，所以周期，所以，函数图象关于直线对称，，解得：，所以，，由，得：，所以函数的单调递增区间；（2）当时，，，关于的方程在区间上总有实数解，即，所以【点睛】此题考查根据函数的周期性和对称性求参数的值得到函数解析式，利用正弦函数的单调性求单调增区间，根据方程有解求参数的取值范围，转化为函数值域的问题.22．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系：.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（Ⅰ）4 ℃; （Ⅱ）10时至18时.【分析】（Ⅰ）由，求得，结合正弦函数的图象求得的最大值与最小值，从而可得结果；（Ⅱ）由，可得, 结合正弦函数的图象求得的取值范围，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）因为f(t)＝10－2又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤≤1.当t＝2时，＝1；当t＝14时，＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（Ⅱ）依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2，故有10－2>11，即<－.又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用、三角函数的最值以及简单的三角不等式，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.