第一章《三角函数》（培优题）达标检测（二）-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

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第一章《三角函数》（培优题）达标检测（二）【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1．在直角坐标系中，已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则= （    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由终边确定角的正切值，利用诱导公式及二倍角公式求解【详解】因为角θ终边落在直线上，所以，，所以故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式及诱导公式，意在考查计算能力及公式运用，是中档题2．已知函数，则函数在上的所有零点的和为（    ）A．6 B．8 C． D．【答案】B【分析】根据题意得，即为求函数与函数图象交点的横坐标之和，作出图像，数形结合即可得解.【详解】令，得，函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标.又函数的图象关于点对称，函数的周期为2，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图：共有8个交点，这8个点两两关于点对称，故其横坐标的和为8.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数零点的应用，应用了两个函数求交点的方式，属于基础题3．已知函数的最小正周期为，则下面结论正确的是（   ）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称【答案】C【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：    选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.4．已知函数，其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若点Q坐标为，且，则函数的解析式可以是　　A． B．C． D．【答案】C【分析】通过点坐标和表示出两点坐标；再利用，勾股定理构造方程，解出周期，即可排除错误选项.【详解】设函数周期为，则，又，则    由此可排除选项本题正确结果：【点睛】本题考查已知函数图像求解析式，本题的关键是能够通过勾股定理构造出方程，求解出函数最小正周期，从而得到结果.5．已知函数的部分图像如图所示，其中，分别是函数的图像的一个最低点和最高点，则（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象可确定和，从而得到；代入，结合，求得的值；从而可得结果.【详解】依题意，，即：        将代入可知：，解得：        本题正确选项：【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解函数解析式的问题，属于常规题型.6．下列各组中，终边相同的角是A．和2kπ–（k∈Z）   B．–和   C．–和   D．和【答案】C【解析】因为–2kπ≠2k＇π，所以不是终边相同的角；因为≠2k＇π，所以不是终边相同的角；因为=2π，所以是终边相同的角；因为≠2kπ，所以不是终边相同的角，以上k∈Z，k＇∈Z．故选C．7．曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为,,,,,…,则等于 (    )A． B．2 C．3 D．【答案】B【解析】曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标转化为根，解简单三角方程可得对应的横坐标分别为，，故选B.【思路点睛】本题主要考查三角函数的图象以及简单的三角方程，属于中档题.解答本题的关键是将曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标转化为根，可得 或，令 取特殊值即可求得，从而可得.8．在下列四个图象中，函数与的大致图像依次对应为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由和的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案.【详解】函数为偶函数，所以的图像只能在、中选择.又，排除，应选；函数为奇函数，所以的图像只能再、中选择.又排除应选，故选:【点睛】本题考查函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于基础题.9．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到： ∵平移后图象关于点 对称， 解得： ∴当 时，可得 ．
故选B．10．已知函数的图象关于点对称，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得出，可得出关于的等式，由此可解得实数的值.【详解】，，所以，，因为函数的图象关于点对称，则，因此，.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；②函数的图象关于直线对称，则.二、多选题11．若集合，，则正确的结论有（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由，又，显然集合所以，则成立，所以选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.，所以选项C不正确.故选：AB【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.12．已知函数部分自变量､函数值如下表所示，下列结论正确的是(    )A．函数解析式为B．函数图象的一条对称轴为C．是函数图象的一个对称中心D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数【答案】BCD【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的对称轴和对称中心，即可得答案.【详解】由表格的第1、2列可得：，由表格的第4、5列可得：，∴，∴，故A错误；令，∵，∴是函数图象的一条对称轴，即为的一条对称轴，故B正确；∵，∴是函数图象的一个对称中心，∴ 是函数图象的一个对称中心，故C正确；∵函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为，∴为奇函数，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查正弦型三角函数的解析式、对称轴、对称中心、平移变换，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意表格信息的应用.三、填空题13．（2021·山西临汾第一中学校高一期末）已知函数，则______.【答案】2019【分析】观察的特点，探究得，再利用倒序相加法求解.【详解】因为所以故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.14．（2020·全国高一单元测试）函数的零点个数为_______________.【答案】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点. 故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.15．设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．【答案】【解析】 由的最小正周期大于，得，又，得，所以，则，所以，由，所以，取，得，所以.16．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是 _________.【答案】①②④【分析】由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.【详解】解：由函数，可得①，可得为周期函数，故①正确；②由，，故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；③为偶数时，，为奇数时, 故不为的对称中心，故③不正确；④由，可得正确，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.四、解答题17．已知角α的终边经过点，且为第二象限角．（1）求、、的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）由三角函数的定义和为第二象限角，求得，即点，再利用三角函数的定义，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式化简，代入即可求解.【详解】（1）由三角函数的定义可知，解得，因为为第二象限角，∴，即点，则，由三角函数的定义，可得.（2）由（1）知和， 可得=.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义，熟练应用三角函数的诱导公式，准确计算是解答的关键你，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．已知直线分别是函数与图象的对称轴.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有两解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦函数的对称轴列式可得，然后代入，利用诱导公式可求得；（2）将问题转化为在区间上有两解，根据正弦函数的图像列式可得答案.【详解】（1）由题知：，，，.（2）由+1-m，所以，，在上有两个不同实数解，，所以，.【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的图像，考查了函数与方程思想，属于中档题.19．已知函数（）的最小正周期为，且其图象关于直线对称.（1）求和的值；（2）若，为锐角，求的值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为，利用正弦函数的图象和性质即可得解最小正周期，利用周期公式求，根据对称轴可求（2）由（1）可得的解析式，根据同角三角函数的关系及诱导公式即可求值.【详解】（1），，，，又，，（2），是锐角，，.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.20．已知函数的图象上相邻最高点和最低点的横坐标相差，初相为．(1)求的表达式；(2)求函数在上的值域．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件确定周期，进而确定，再由初相确定，（2）根据正弦函数性质确定函数值域.【详解】(1)依题意函数的周期是，=，=从而  (2) 从而函数的值域为.【点睛】本题考查三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析化简求解能力，属基本题.21．函数的部分图象如图，是图象的一个最低点，图象与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为.（1）求，，的值；（2）关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．【答案】(1) ，，．(2) 【分析】（1）利用的部分图象可求得其周期，从而可求得；由其图象与轴的一个交点坐标为，及可求得，当时，，可求得；（2）求出函数在，的取值情况，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：（1）由题图可知，函数的周期，∴，．∵图象与轴的一个交点坐标为，∴，∴，∴，，故．由得，，∴，∴．当时，，∴．综上可知，，，．（2）由（1）可得：．当时，，可得：．由得，要使方程在上有两个不同的解． 则在上有两个不同的解，即函数和在上有两个不同的交点，由图象可知即．【点睛】本题考查的部分图象确定函数解析式，求得、、的值是关键，考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．22．某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案】（1） （2）该船在1:00至5:00或13:00至17:0能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时【分析】（1）先阅读题意，再将特殊值代入函数解析式运算即可得解；（2）结合题意，若船舶航行时船是安全的，则，即，再求解不等式即可得解.【详解】解：（1）根据图表数据可得：， ∴，，函数周期，∴，∴将点代入可得，，即，∴函数的表达式为；（2）由题意知：若船舶航行时船是安全的，则，即，∴，∴，又，∴或；故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了阅读理解能力，属中档题.