数学第三章 直线与方程综合与测试习题

章末检测

一、选择题

1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是      (　　)

A．30°     B．45°     C．60°     D．90°

2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为    (　　)

A．－3     B．－6      C．－       D.

3．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(　　)

A.      B.       C．10        D．－10

4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是         (　　)

A．x－2y－1＝0        B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0        D．x＋2y－1＝0

5．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为        (　　)

A．4      B．6      C．8      D．12

6．点M(1,2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是         (　　)

A．M∈l     B．M∉l    C．重合     D．不确定

7．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是      (　　)

A．mn>0     B．mn<0    C．m>0，n<0   D．m<0，n<0

8．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．k≤或k≥         B．k≤－或k≥－

C.≤k≤          D．－≤k≤－

9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．－4     B．20     C．0     D．24

10．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是     (　　)

A．y＝1        B．2x＋y－1＝0

C．y＝1或2x＋y－1＝0    D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0

11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．m＝－，n＝1     B．m＝－，n＝－3

C．m＝，n＝－3     D．m＝，n＝1

12．过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于                                                                                                                                                          (　　)

A．－3     B．3     C．－6     D．6

二、填空题

13．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.

14．甲船在某港口的东50 km，北30 km处，乙船在同一港口的东14 km，南18 km处，那么甲、乙两船的距离是________．

15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．

16．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，则的最大值为________．

三、解答题

17．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．

18．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

19．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

20．如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．

21．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．

22．某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．

答案

1．A　2.B　3.D　4.A　5.C　6.B　7．C　8．C　9．A　10．C　11．D　12.B　

13．－2或4或6

14．60 km

15．－

16．2

17．解　在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x＝－.若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.

18．解　设直线l2上的动点P(x，y)，直线l1上的点Q(x0,4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有

消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．

∴直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.

19．解　(1)设C(x0，y0)，则AC中点M，

BC中点N.

∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.

∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．

(2)∵M，N(1,0)．

∴直线MN的方程为＋＝1.

即5x－2y－5＝0.

20．解　设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，

由条件可得：

，

得，

解得，即B(6,4)，

同理可求得C点的坐标为(5,0)．

故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0.

21．解　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，

又PP′的中点Q在l上，

∴3×－2×＋7＝0，

由

可得P点的坐标为

x0＝，y0＝，

代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，

∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.

22．解　在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，

则AB的方程为＋＝1，

设P，则长方形的面积

S＝(100－x)(0≤x≤30)．

化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．

当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 017 m2.