高中数学人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试精练

第三章　学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线经过点A(0，3)和点B(－1，2)，则直线AB的斜率为(　B　)

A．－1　　 B．1　　

C．－　　 D．

[解析]　由斜率公式，得kAB＝＝1．

2．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为(　A　)

A．x＋y－1＝0  B．x－y＋1＝0

C．x＋y＋1＝0  D．x－y－1＝0

[解析]　用－x替换方程x－y＋1＝0中的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．

3．直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°.则直线l的方程为(　C　)

A．x＋y－2－1＝0 B．x＋y＋2－1＝0

C．x－y－2－1＝0 D．x－y＋2－1＝0

[解析]　∵直线l的倾斜角为30°，

∴直线l的斜率k＝tan30°＝，

由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝(x－1)，

即x－y－2－1＝0．

4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　A　)

A．－  B．－

C．  D．2

[解析]　由题意，得过两点(－1，1)和(3，9)的直线方程为y＝2x＋3.令y＝0，则x＝－

∴直线在x轴上的截距为－，故选A．

5．已知点A(3，2)，B(－2，a)，C(8，12)在同一条直线上，则a的值是(　C　)

A．0  B．－4

C．－8  D．4

[解析]　根据题意可知kAC＝kAB，即＝，解得a＝－8．

6．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　C　)

A．1或3  B．1或5

C．3或5  D．1或2

[解析]　当k＝3时，两直线显然平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－＝.解得k＝5，故选C．

7．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　D　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

[解析]　Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，由AB<0，BC<0，得－>0，－>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

8．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　C　)

A．－2  B．－7

C．3  D．1

[解析]　由已知条件可知线段AB的中点(，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3．

9．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是(　C　)

A．19x－9y＝0  B．9x＋19y＝0

C．3x＋19y＝0  D．19x－3y＝0

[解析]　解，得，即直线l1，l2的交点是(－，)，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0．

10．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点(　C　)

A．(0，0)  B．(，)

C．(，)  D．(，)

[解析]　直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(，)．

11．已知直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋(2a－1)y＋3＝0垂直，则a＝(　D　)

A．－  B．0

C．－2或0  D．－或0

[解析]　由题意得2a＋a(2a－1)＝0，解得a＝－或0．

12．已知点M(1，0)和N(－1，0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为(　A　)

A．[－2，2]  B．[－1，1]

C．[－，]  D．[0，2]

[解析]　直线可化为y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2，故b的取值范围是[－2，2]．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为__－__.

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又＝1，∴x1＝－2，即A(－2，1)，∴kAB＝＝－．

14．点A(3，－4)与点B(5，8)关于直线l对称，则直线l的方程为__x＋6y－16＝0__.

[解析]　直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为(4，2)，kAB＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋6y－16＝0．

15．直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线方程为__2x＋3y＋8＝0__.

[解析]　取直线2x＋3y－6＝0上的点M(0，2)，N(3，0)，则点M，N关于点A(－1，－1)的对称点M′(2，－4)，N′(－1，－2)，故所求直线方程为＝，即2x＋3y＋8＝0．

16．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则的最大值和最小值分别为__2，__.

[解析]　如图，由已知，点P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2，4)，B(3，2)，

而＝，其几何意义为直线OP的斜率．

由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝，kOA＝2．

故所求的的最大值为2，最小值为．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知点P(2，－1).

(1)求过点P且与原点距离为2的直线方程；

(2)求过点P且与原点距离最大的直线方程．

[解析]　(1)当直线斜率不存在时，方程x＝2适合题意．

当直线斜率存在时，设直线方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0，

则＝2，解得k＝．

∴直线方程为3x－4y－10＝0．

∴所求直线方程为x＝2或3x－4y－10＝0．

(2)过点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，kOP＝－，则所求直线的斜率为2．

∴直线方程为y－(－1)＝2(x－2)，即2x－y－5＝0．

18．(本小题满分12分)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1∥l2？l1⊥l2？

[解析]　解法一：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，两直线既不平行也不垂直；

当m≠0时，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－；

若l1∥l2，则

解得m＝－1；

若l1⊥l2，则－(－)＝－1，

即m＝．

解法二：若l1∥l2，则，

解之得m＝－1．

若l1⊥l2，则1·(m－2)＋3m＝0，

∴m＝．

19．(本小题满分12分)过点M(1，2)的直线l：

(1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线l的方程；

(2)若l与坐标轴交于A，B两点，原点O到l的距离为1时，求直线l的方程以及△AOB的面积．

[解析]　(1)当l过原点时，设l方程为y＝kx，∴2＝k，

∴l方程为y＝2x，

当l不过原点时，设l方程为＋＝1，

∴＝1，∴a＝±3，故直线l方程为：x＋y－3＝0和x－y＋1＝0．

(2)依题，直线l斜率存在，设其为k，设l方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，

∴原点O到l的距离d＝＝1，则k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0；△AOB的面积S＝··＝．

20．(本小题满分12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求直线BC的方程；

(3)求△BDE的面积．

[解析]　(1)由已知得直线AB的斜率为2，

∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，

即2x－y＋1＝0．

(2)由，得．

即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．

设C(m，n)，

则由已知条件得，

解得，∴C(2，1)．

∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0．

(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1，1)．

∴|BE|＝＝，

由，得．

∴D(，)，

∴D到BE的距离为d＝＝，

∴S△BDE＝·d·|BE|＝．

21．(本小题满分12分)在△ABC中，已知M为线段AB的中点，顶点A，B的坐标分别为(4，－1)，(2，5).

(1)求线段AB的垂直平分线方程；

(2)若顶点C的坐标为(6，2)，求△ABC垂心的坐标．

[解析]　(1)∵AB的中点是M(3，2)，直线AB的斜率是＝－3，线段AB中垂线的斜率是，故线段AB的垂直平分线方程是y－2＝(x－3)，

即x－3y＋3＝0，

(2)∵kAB＝－3，∴AB边上的高所在直线斜率是，

∵C(6，2)，∴AB边上的高所在直线的方程y－2＝(x－6)，即x－3y＝0．

同理，∴AC边上的高所在直线的方程：2x＋3y－19＝0．

联立x－3y＝0和2x＋3y－19＝0，得x＝，y＝．

∴△ABC的垂心为(，)．

22．(本小题满分12分)某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？

[解析]　如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．

因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．

设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，

即，解得，即A′(3，6)．

所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0．

解方程组，得．

所以P点的坐标为(，)．

故供水站应建在点P(，)处，

此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝．