高中数学人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试习题

温馨提示：

    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

单元质量评估(三)

(第三章)

(120分钟　150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.已知点A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角是　(　　)

A.60°　　　B.30°　　　C.120°　　　D.150°

【解析】选C.直线AB的斜率为=-，则直线AB的倾斜角是120°.

2.(2016·兰州高一检测)直线-=1在y轴上的截距为　(　　)

A.|b|       B.-b2

C.b2       D.±b

【解析】选B.令x=0，则y=-b2.

【误区警示】解答本题易出现选C的错误，出现这种错误的原因是对直线截距的定义理解不准确.

3.过点P(-1，3)，且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为　(　　)

A.2x+y-1=0     B.2x+y-5=0

C.x+2y-5=0     D.x-2y+7=0

【解析】选A.根据垂直关系可知k=-2，所以y-3=-2(x+1)，即2x+y-1=0.

【延伸探究】本题中条件“垂直于直线x-2y+3=0”若换为“平行于直线x-2y+3=0”，其他条件不变，其结论又如何呢？

【解析】选D.设所求直线方程为x-2y+m=0，

因为直线过P(-1，3)，

故-1-6+m=0，

所以m=7，

即所求直线方程为x-2y+7=0.

4.(2016·武汉高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为　(　　)

A.0    B.-8     C.2    D.10

【解析】选B.kAB==-2，

所以m=-8.

因为B(-8，4)不在直线2x+y-1=0上，

所以m=-8符合题意.

5.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a的值为　(　　)

A.-3    B.-6

C.     D.

【解析】选B.由题意得a·(-1)-2×3=0，

所以a=-6.

【补偿训练】直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0垂直，则m的值为　

(　　)

A.　    B.-　    C.或-　   D.-或-

【解析】选B.因为l1⊥l2，所以2m+3(m+1)=0，所以m=-.

6.(2016·长沙高一检测)直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有　(　　)

A.k=-，b=3      B.k=-，b=-2

C.k=-，b=-3      D.k=，b=2

【解析】选C.直线方程一般式化成斜截式，3x+2y+6=0可化为y=-x-3，所以k=-，b=-3.

7.(2016·成都高一检测)点A(1，3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2，1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是　(　　)

A.-    B.    C.-    D.

【解析】选D.由题意知解得k=-，b=，所以直线方程为y=-x+，其在x轴上的截距为.

8.(2016·许昌高一检测)直线x+2y-5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于　(　　)

A.0        B.-20

C.0或-20       D.0或-10

【解析】选C.直线2x+4y+a=0可化为x+2y+=0，

由题意得：=，即a=0或a=-20..Com]

9.实数x，y满足方程x+y-4=0，则x2+y2的最小值为　 (　　)

A.4    B.6   C.8    D.12

【解析】选C.令t=x2+y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，所以tmin=8.

10.(2015·郑州高一检测)已知两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值等于　(　　)

A.0或-     B.或-6

C.-或     D.0或

【解析】选B.依题意得=，所以|3m+5|=|m-7|，所以3m+5=m-7或3m+5=7-m，所以m=-6或m=.

11.设△ABC的一个顶点是A(3， -1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为　(　　)

A.y=2x+5     B.y=2x+3

C.y=3x+5     D.y=-x+

【解题指南】分别求出点A关于∠B，∠C的平分线的对称点坐标，再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.

【解析】选A.点A(3，-1)关于直线x=0，y=x的对称点分别为A′(-3，-1)，

A″(-1，3)，由角平分线的性质知，点A′和点A″都在直线BC上，故得直线BC的方程为y=2x+5.

12.已知直线y=x+3k-2与y=-x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是　

(　　)

A.     B.

C.(0，1)      D.

【解析】选A.由方程组

解得

所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为.

要使交点在第一象限，则

解得-<k<1.

所以k的取值范围是.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.(2016·北京高一检测)若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；

④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是__________.(写出所有正确答案的序号)

【解析】两平行线间的距离为d==.

由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，

所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.

答案：①⑤

14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.

【解析】当直线过原点时设y=kx，因为3k=4，故k=，即y=x.当直线不过原点时设+=1，因为+=1，故a=7，即x+y-7=0.

答案：y=x或x+y-7=0

15.若直线ax+by+16=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a=________，b=________.

【解析】若直线ax+by+16=0与直线x-2y=0平行，则a=-.　①

由得

因为点(4，-2)在直线ax+by+16=0上，

所以4a-2b+16=0，　②

由①②可解得a=-2，b=4.

答案：-2　4

16.不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第__________象限.

【解析】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0，

由得

所以直线过定点(-2，1).因此直线必定过第二象限.

答案：二

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M(2，-1)，求l的方程.

【解析】因为已知直线的斜率为，即tanα=，

所以α=30°，所以直线l的斜率为k=tan2α=tan60°=.

又l过点(2，-1)，

所以l的方程为y-(-1)=(x-2).

即x-y-2-1=0.

18.(12分)已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3).求：

(1)AB边上的中线CM所在直线的方程.

(2)△ABC的面积.

【解析】(1)由题意有M(1，1)，CM所在直线的方程为2x+3y-5=0.

(2)点A到CM所在直线的距离为d=，|CM|=，

所以S△ABC=2S△ACM=d·|CM|=11.

【补偿训练】如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x-y-2=0，点C(2，0).

(1)求直线CD的方程.

(2)求AB边上的高CE所在直线的方程.

【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AB∥CD.

所以kCD=kAB=2..Com]

所以直线CD的方程为y=2(x-2)，

即2x-y-4=0.

(2)因为CE⊥AB，

所以kCE=-=-.

所以直线CE的方程为y=-(x-2)，

即x+2y-2=0.

19.(12分)已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A.

(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由.

(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程.

【解析】(1)垂直.直线l1的斜率k1=-，直线l2的斜率k2=2，

因为k1k2=-×2=-1，

所以l1⊥l2.

(2)由方程组

解得点A的坐标为，

直线l3的斜率为-3，

所以所求直线方程为：y-=-3，化为一般式得：3x+y-1=0.

20.(12分)已知直线l1：ax+by+1=0(a，b不同时为0)，l2：(a-2)x+y+a=0，

(1)若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值.

(2)当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.

【解析】(1)当b=0时，l1：ax+1=0，由l1⊥l2，知a-2=0，解得a=2.

(2)当b=3时，l1：ax+3y+1=0，

当l1∥l2时，有解得a=3，

此时，l1的方程为3x+3y+1=0，

l2的方程为x+y+3=0，

即3x+3y+9=0，

则它们之间的距离为d==.

21.(12分)(2016·德州高一检测)已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l：4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.

【解题指南】解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为2”，列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解.

【解析】方法一：设点P(x，y).

因为|PA|=|PB|，

所以=.①

又点P到直线l的距离等于2，

所以=2.②

由①②联立方程组，

解得点P(1，-4)或点P.

方法二：设点P(x，y).

因为|PA|=|PB|，

所以点P在线段AB的垂直平分线上，

由题意知kAB=-1，线段AB的中点为(3，-2)，

所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.

所以设点P(x，x-5)，

因为点P到直线l的距离等于2，

所以=2.

解得x=1或x=.

所以点P(1，-4)或点P.

22.(12分)已知A-，0，B0，-，其中k≠0且k≠±1，直线l经过点P(1，0)和AB的中点.

(1)求证：A，B关于直线l对称.

(2)当1<k<时，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

【解析】(1)因为直线l经过AB的中点，

所以只需再证AB⊥l即可.

因为A-，0，B0，-，

所以AB的中点为-，-.

kAB==-k，kl==，

所以kAB·kl=(-k)·=-1，

所以AB⊥l，

所以A，B关于直线l对称.

(2)kl=，所以直线l方程为y=(x-1)，其在y轴的截距b=-，

因为y=-在(0，+∞)上是单调增函数，

所以1<k<时，

-1<-<-即-1<b<-.

所以直线l在y轴上的截距b的取值范围是-1，-.

关闭Word文档返回原板块