高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课堂检测

空间点、直线、平面之间的位置关系

课下练兵场

一、选择题

1．下列命题中正确的是                                                 (　　)

A．经过不同的三点有且只有一个平面

B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C．垂直于同一平面的两直线是平行直线

D．垂直于同一平面的两平面是平行平面

答案：C

2．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得                       (　　)

A．a⊂α，b⊂α　　　　　　B．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α            D．a⊂α，b⊥α

解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时D才成立．

答案：B

3．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是                          (　　)

A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交

解析：由直线与平面的性质可知，选C.

答案：C

4．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是                                                      (　　)

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b， a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②                B．②③             C．①④               D．③④

解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

答案：D

5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的                                                             

(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分又不必要条件

解析：若两直线为异面直线则两直线无公共点，反之不一定成立．

答案：A

6. [理]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC

，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1

的中点，则直线EF和BC1所成的角是              (　　)

A．45°        B．60°       C．90°      D．120°

解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点

G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设

AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易

知GH=HB=GB=a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°.

答案：B

[文]如图在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是                                                     (　　)

A．EF与BB1垂直            B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面            D．EF与A1C1异面

解析：EF∥A1C1，故D不成立．

答案：D

二、填空题

7．(2010·江南十校素质测试)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．

解析：正方体如图，若要出现所成角为60°

的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为

例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，

分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方

体的面对角线有12条，所以所求的黄金异

面直线对共有=24对(每一对被计算两次，

所以记好要除以2)．

答案：24

8．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；

⑤若a，b与c成等角，则a∥b.

上述命题中正确的命题是__________(只填序号)．

解析：由公理4知①正确；

当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；

当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；

a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；

当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．

答案：①

9．(2010·郑州质检)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正

方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面

直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

答案：①③

三、解答题

10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，

M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．

(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，

不必证明)；

(2)求PQ的长．

解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.

又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．

∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．

∴DA与CM必相交，记交点为Q，

连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，

∴OQ是α与β的交线．

故直线OPQ即为所求作的直线．

(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ＝CB＝1，

又∵△OPN∽△QPA，ON＝BC＝AQ.

∴PN∶PA＝1∶2.AP＝AN＝.

解Rt△APQ可得PQ＝.

11．在正方体AC1中，E是CD的中点，连结AE并延长与BC的延长线交于点F，连结BE并延长交AD的延长线于点G，连结FG.

求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.

证明：由已知得E是CD的中点，

在正方体中，有A∈平面ABCD，

E∈平面ABCD，

所以AE⊂平面ABCD.

又AE∩BC=F，所以F∈AE，

从而F∈平面ABCD.

同理，G∈平面ABCD，

所以FG⊂平面ABCD.

因为EC   AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，

同理，DG=AD.又在正方形ABCD中，BC   AD，

所以CF   DG.

所以四边形CFGD是平行四边形．

所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，

所以直线FG∥直线A1B1.

12．已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该

点平分．

证明：如图所示，连结EF、FG、GH、HE.

∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF∥AC，HG∥AC，

∴EF∥HG，同理，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

设EG∩FH=O，

则O平分EG、FH.

同理，四边形MFNH是平行四边形，

设MN∩FH=O′，则O′平分MN、FH.

∵点O、O′都平分线段FH，

∴点O与点O′重合，

∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．