高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步达标检测题

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(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．下列说法正确的个数是(　　)

①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

A．3　 B．2

C．1 D．0

【解析】　①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．

【答案】　C

2．a、b为异面直线是指

①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．              (　　)

A．①②③ B．①③④

C．②③ D．①④

【解析】　②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．

【答案】　D

3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)

 【导学号：09960052】

【解析】　易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．

【答案】　C

4．如图2­1­19所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

图2­1­19

A．45° B．60°

C．90° D．120°

【解析】　连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．

A1B∥EF，BC1∥GH.

∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，

连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.

【答案】　B

5．如图2­1­20，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

图2­1­20

A．CC1与B1E是异面直线

B．C1C与AE共面

C．AE与B1C1是异面直线

D．AE与B1C1所成的角为60°

【解析】　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．

【答案】　C

二、填空题

6．如图2­1­21所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

图2­1­21

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．

【解析】　由异面直线的定义知③④正确．

【答案】　③④

7．如图2­1­22，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．

图2­1­22

【解析】　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.

【答案】　60°

三、解答题

8．(2016·重庆高一检测)如图2­1­23，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．

(1)求证：D1E∥BF；

(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.

图2­1­23

【证明】　(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.

在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，

∵A1B1C1D1，

∴EMC1D1，

∴四边形EMC1D1为平行四边形，

∴D1E∥C1M.

在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，∴BFC1M.

∴D1E∥BF.

(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，

又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，

∴∠B1BF＝∠D1EA1.

9．(2015·沈阳高一检测)如图2­1­24，正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

 【导学号：09960053】

图2­1­24

【解】　(1)如图，因为CG∥BF，

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

(2)连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形，

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．

连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，

所以△AFH为等边三角形，

又依题意知O为AH的中点，

所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.

[自我挑战]

10．(2016·烟台高一检测)如图2­1­25是正方体的平面展开图，在这个正方体中，                                        【导学号：09960054】

图2­1­25

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)

A．①②③ B．②④

C．③④ D．②③④

【解析】　由题意画出正方体的图形如图：

显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．

【答案】　C

11．在四面体A­BCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．

【解】　如图，取BC中点O，连接OE、OF，

∵OE∥AC，OF∥BD，

∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.

∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.

当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.

当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，

EF＝2EM＝2×＝.