高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课时训练

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课后提升作业 九

空间中直线与平面之间的位置关系　

平面与平面之间的位置关系

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.(2016·菏泽高一检测)已知直线a在平面α外，则　(　　)

A.a∥α

B.直线a与平面α至少有一个公共点

C.a∩α=A

D.直线a与平面α至多有一个公共点

【解析】选D.因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.

2.(2016·成都高一检测)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线　(　　)

A.只有一条，不在平面α内

B.有无数条，一定在平面α内

C.只有一条，且在平面α内

D.有无数条，不一定在平面α内

【解析】选C.过直线l和点P作一平面β与α相交于m，因为l∥α，所以l与α无公共点，所以l与m无公共点，又l⊂β，m⊂β，故l∥m，又m⊂α，即m是过点P且平行于l的直线.若n也是过P且与l平行的直线，则m∥n，这是不可能的.故C正确.

3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则　(　　)

A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

【解析】选B.因为l不平行于α，且l⊄α，故l与α相交，记l∩α=A.假设平面α内存在直线a∥l，过A在α内作b∥a，则b∥l，这与b∩l=A矛盾，故在α内不存在与l平行的直线.

4.(2016·成都高一检测)下列说法中，正确的个数是　(　　)

(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.

(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.

(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.

(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.

A.0　　　　  B.1　　　　  C.2　　　　  D.3

【解析】选A.(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.

(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.

(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.

(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.

5.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线　(　　)

A.异面   B.相交   C.平行   D.垂直

【解析】选D.若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直线平行.故C错误.若尺子平行于地面，则B不正确.若尺子放在地面上，则A不正确.故选D.

6.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线EF是平面ACD1与　(　　)

A.平面BDB1的交线　　　　  B.平面BDC1的交线

C.平面ACB1的交线     D.平面ACC1的交线

【解析】选B.连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故EF=平面ACD1∩平面BDC1.

7.(2016·嘉兴高二检测)若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是　(　　)

A.平行      B.相交

C.异面      D.平行、相交或异面

【解析】选D.若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.

8.α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是　(　　)

A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β

B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

【解析】选D.A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.

【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α.

答案：b∥α，b⊂α或b与α相交

【补偿训练】(2016·成都高一检测)如果空间中的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).

①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线.

【解析】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一定与另外两条平行，故只有①正确.

答案：①

10.平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________.

【解析】因为a∥α，c⊂α，

所以a与c无公共点，不相交.

若a∥c，则直线a∥β或a⊂β.

这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面.

答案：异面

【延伸探究】本题中条件“a与β相交”，若改为“a⊂β”，则a与c的位置关系如何？

【解析】因为α∩β=c，a∥α，故a与α没有公共点，又a⊂β，所以a与c无公共点，又a，c都在β内，故a∥c.

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·福州高一检测)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.

【解题指南】要证两平面相交，只要证明它们存在一个公共点即可.

【证明】在正方体ABCD-A′B′C′D′中，

E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，

又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，

所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，

故平面ABB′A′与平面CDFE相交.

12.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.

【解析】a∥b，a∥β.由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ，

所以a⊂α，b⊂β，又因为α∥β，

所以a，b无公共点.

又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.

因为α∥β，所以α与β无公共点，

又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.

【能力挑战题】

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.

【解析】如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

因为E是AA1的中点，

所以EF∥A1B.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

A1D1∥BC，A1D1=BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形.

所以A1B∥CD1，

所以EF∥CD1，

所以E，F，C，D1四点共面.

因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

所以平面ABB1A1∩平面D1CE=EF，

所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.

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