高中人教版新课标A2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案

这是一份高中人教版新课标A2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案，共7页。


Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
观察我们的教室，教室的墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯抽象成一条直线，那么日光灯所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
1．空间中直线与平面的位置关系
(1)位置关系：有且只有三种
①直线在平面内——有__无数__个公共点；
②直线与平面相交——__有且只有一个__公共点；
③直线与平面平行——__没有__公共点．
直线与平面__相交__或__平行__的情况统称为直线在平面外．
[归纳总结] “直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
(2)符号表示：直线l在平面α内，记为__l⊂α__；直线l与平面α相交于点M，记为__l∩α＝M__；直线l与平面α平行，记为__l∥α__．
(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
2．两个平面之间的位置关系
(1)位置关系：有且只有两种
①两个平面平行——__没有__公共点；
②两个平面相交——有__一条__公共直线．
(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为__α∩β＝l__．
(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有( A )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[解析] ∵m∥d，∴m与α没有公共点．
2．直线l与平面α有两个公共点，则( A )
A．l⊂α B．l∥α
C．l与α相交 D．l∈α
[解析] 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内．
3．已知两个不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不确定
[解析] 两个不同的平面若有一个公共点，则这两个平面一定有一条过这个公共点的公共直线．
4．若直线a不在平面α内，则直线a与平面α的公共点的个数为__0或1__.
[解析] 当直线a与平面平行时，公共点有0个；当直线a与平面α相交时，公共点有1个．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨直线与平面的位置关系
典例1 下列五个命题中正确命题的个数是( B )
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如图所示
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
『规律方法』 直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
〔跟踪练习1〕
下列命题中的真命题是( A )
A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交
B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面
C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α
D．若a∥α，b⊂α，则a∥b
[解析] 对于选项B，如图(1)显然错误．
对于选项C，如图(2)显然错误．
对于选项D，如图(3)显然错误，故选A．
命题方向2 ⇨两个平面的位置关系
典例2 α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是( D )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
[解析] 如图(1)
a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
而α与β不平行，故选项A，B错误；
如图(2)

a∥α，a∥β，而α与β不平行，故选项C错误，故选D．
『规律方法』 判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
〔跟踪练习2〕
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
[解析] 由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 对空间线面位置关系考虑不全面致误.
典例3 设P是异面直线a，b外的一点，则过P与a，b都平行的平面( C )
A．有且只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
[错解] 如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1，b1有且只有一个平面．故选A．
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了．
[正解] C
[警示] 对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误．
〔跟踪练习3〕若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( D )
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点
[错解] 选B．因为l与平面α不平行，所以l与α相交，因此α内任意直线都与l不平行．
[错因分析] 对直线与平面的位置关系不清楚，忽视了l⊂α的情形．
[正解] D
∵l与α不平行，∴l⊂α或l与α相交，故l与α有公共点．
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 推理证明的一种间接方法——反证法
典例4 已知：直线a∥b，a∩平面α＝P．
求证：直线b与平面α相交.
[思路分析] 解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．即先假设原结论不成立，则原结论的反面就成立，然后把原结论的反面和题设条件作为条件进行推理，直到推出一个明显错误的结论．从而肯定原结论正确．
[解析] 如右图，∵a∥b，
∴a和b确定平面β，
∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l．
∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，
∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q，
又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
『规律方法』 应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论．
〔跟踪练习4〕
如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．
已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a．
求证：直线a与平面α相交．
[解析] 假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α．
假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；
假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾．
∴假设不成立．
∴直线a与平面α相交．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交 B．平行
C．平行或异面 D．相交或异面
[解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是( D )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
[解析] ∵a∥α，∴a与α无公共点
又∵b⊂α，∴a与b无公共点
∴a∥b或a与b异面．
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( D )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
[解析] 两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平行．
4．过平面α外一点，作直线l∥α，则这样的直线l有__无数__条.
[解析] 过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α．