高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质教案设计

【新教材】5.4.3 正切函数的图像与性质教学设计（人教A版）

本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.

课程目标

1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;

2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.

数学学科素养

1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；

2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.

4.直观想象：正切函数的图像；

5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.

重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；

难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本209-212页，思考并完成以下问题

1.  正切函数图像是怎样的？

2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性

质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.正切函数，且图象：

2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域：     值域：R（-∞，+∞）

最值： 无最值               渐近线：

周期性：最小正周期是       奇偶性: 奇函数

单调性：增区间     

图像特征：无对称轴，对称中心：

四、典例分析、举一反三

题型一    正切函数的性质

例1  求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．

【答案】定义域：{x|x≠2k＋，k∈Z}；最小正周期为2；

单调递增区间是，k∈Z.

【解析】由x＋≠kπ＋，得x≠2k＋(k∈Z)．

所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}；

由于＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.

由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z.

因此，函数的单调递增区间是，k∈Z.

解题技巧：（求单调区间的步骤）

用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：

第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

跟踪训练一

1．下列命题中：

①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tan的图像关于点对称；④函数y＝tan的图像关于直线x＝对称．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0个       B．1个

C．2个       D．3个

【答案】D．

【解析】　：①正确，函数y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为(k∈Z)．④函数y＝tan不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.

题型二  比较大小

例2 与

【答案】.

【解析】

又在上是增函数

解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)

比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

跟踪训练二

1．若f(x)＝tan，则(　　)

A．f(0)＞f(－1)＞f(1)     B．f(0)＞f(1)＞f(－1)

C．f(1)＞f(0)＞f(－1)     D．f(－1)＞f(0)＞f(1)

【答案】A

【解析】　f(x)＝tan在内是增函数．

又0，－1∈，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．

又f(x)＝tan在上也是增函数，f(－1)＝tan＝tan＝tan.

∵－1,1∈，且－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．

从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本213页习题5.4.

正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.