人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例随堂练习题

1．设坐标原点为O，已知过点的直线交函数y＝x2的图象于A、B两点，则·的值为(　　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k，则直线方程为y＝kx＋，与y＝x2联立得x2＝kx＋，

∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k，

y1y2＝＝k2x1x2＋＋

＝－k2＋k2＋＝，

∴·＝x1x2＋y1y2＝－1＋＝－.

2．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．

解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α，

又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，

∴－＝α(－)，∴∥，

又B与有公共点B，∴A、B、C三点共线，

∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，

∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．

答案：3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)

3．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B (4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．

(1)求直线DE、EF、FD的方程；

(2)求AB边上的高CH所在直线的方程．

解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，

设M(x，y)是直线DE上任意一点，

则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)．

∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，

即x－y＋2＝0为直线DE的方程．

同理可求，直线EF，FD的方程分别为

x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.

(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，

则⊥.

∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)．

∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，

即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．

4．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．

解：

如图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处．

依题意，的方向是北偏西60°，||＝1 000 km；的方向是南偏西60°，||＝2 000 km，

所以∠BAC＝60°.

过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形．

所以BD＝CD＝1 000 km，

∠CBD＝∠BCD＝∠BDA＝30°.

所以∠ABC＝90°.

BC＝ACsin 60°＝2 000×＝1 000(km)，

||＝1 000(km)．

所以飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.