人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后复习题

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A．0 B．±eq \r(3)
C．0或eq \r(3) D．0或eq \r(3)或－eq \r(3)
解析：选D.由cs 2θ＋cs θ＝0得2cs2θ－1＋cs θ＝0，
所以cs θ＝－1或eq \f(1,2).
当cs θ＝－1时，有sin θ＝0；
当cs θ＝eq \f(1,2)时，有sin θ＝±eq \f(\r(3),2).
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ (2cs θ＋1)＝0或eq \r(3)或－eq \r(3).
2．等腰三角形的顶角的正弦值为eq \f(5,13)，则它的底角的余弦值为________．
解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为eq \f(π－α,2)，由题意可知sin α＝eq \f(5,13)，所以cs α＝± eq \r(1－\f(5,13)2)＝±eq \f(12,13)，所以cseq \f(π－α,2)＝sineq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1－cs α,2))＝ eq \r(\f(1±\f(12,13),2))，所以cseq \f(π－α,2)＝eq \f(\r(26),26)或eq \f(5\r(26),26).
答案：eq \f(\r(26),26)或eq \f(5\r(26),26)
3．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(π,6))＋2sin2(x－eq \f(π,12))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(π,6))＋1－cs 2(x－eq \f(π,12))
＝eq \r(3)sin(2x－eq \f(π,6))－cs(2x－eq \f(π,6))＋1
＝2sin(2x－eq \f(π,6)－eq \f(π,6))＋1
＝2sin(2x－eq \f(π,3))＋1，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－eq \f(π,3))＝1，
得2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得x＝eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
故使函数f(x)取得最大值的x的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).
4．已知：0<α (1)求sin 2β的值；
(2)求cs(α＋eq \f(π,4))的值．
]
解：(1)因为cs(β－eq \f(π,4))＝cseq \f(π,4)cs β＋sineq \f(π,4)sin β
＝eq \f(\r(2),2)cs β＋eq \f(\r(2),2)sin β＝eq \f(1,3)，
所以cs β＋sin β＝eq \f(\r(2),3).所以1＋sin 2β＝eq \f(2,9).
故sin 2β＝－eq \f(7,9).
(2)因为0<α0，cs(α＋β)<0.
因为cs(β－eq \f(π,4))＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，
所以sin(β－eq \f(π,4))＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(3,5).
所以cs(α＋eq \f(π,4))＝cs[(α＋β)－(β－eq \f(π,4))]
＝cs(α＋β)cs(β－eq \f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq \f(π,4))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).