高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例优质导学案及答案

2．5.2　向量在物理中的应用举例

学习目标　1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．

知识点一　向量的线性运算在物理中的应用

思考1　向量与力有什么相同点和不同点？

答案　向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．

思考2　向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？

答案　速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．

梳理　(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．

(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．

知识点二　向量的数量积在物理中的应用

思考　向量的数量积与功有什么联系？

答案　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．

梳理　物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．

知识点三　向量方法解决物理问题的步骤

用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

1．功是力F与位移S的数量积．(　√　)

2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．(　√　)

3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．(　√　)

类型一　向量的线性运算在物理中的应用

例1　(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．

考点　向量在力学中的应用

题点　求分力

解　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.

在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，

从而||＝||·cos30°＝150(N)，

||＝||·sin30°＝150(N)，

所以||＝||＝150(N)．

答　与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.

(2)一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，

根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，

||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，

∴||＝＝2.

又AB＝，∴用时0.5h.

∵sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，∴∠EAD＝30°.

答　船实际航行速度大小为2km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5h.

反思与感悟　利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．

跟踪训练1　河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10km/h，求小船的实际航行速度．

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．

∴||＝＝＝20(km/h)，

tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，

∴小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30°的方向航行．

类型二　向量的数量积在物理中的应用

例2　质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离．(g＝9.8N/kg)

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

考点　向量在力学中的应用

题点　求做功

解　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)；

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0；

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．

反思与感悟　物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．

跟踪训练2　已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)

A．7B．10C．14D．70

考点　向量在力学中的应用

题点　求做功

答案　D

解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×＝70.

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)

A．6B．2C．2D．2

考点　向量在力学中的应用

题点　求合力

答案　C

解析　由题意知F3＝－(F1＋F2)，

所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，

∴|F3|＝2.

2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)

A．v1－v2 B．v2－v1

C．v1＋v2 D．|v1|－|v2|

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

答案　C

解析　由题易知，选项C正确．

3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.

考点　向量在力学中的应用

题点　求分力

答案　10

解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|.

∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，

∴每根绳子的拉力都为10N.

4．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.

考点　向量在运动学中的应用

题点　求时间

答案　3

解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，

∴|v实际|＝

＝＝16(km/h)．

∴所需时间t＝＝0.05(h)

＝3(min)．

∴该船到达B处所需的时间为3min.

5．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是km/h.

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤

一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

一、选择题

1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)

A．40N B．10N

C．20N D．10N

考点　向量在力学中的应用

题点　求合力

答案　B

解析　|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10，

当θ＝120°，由平行四边形法则知

|F合|＝|F1|＝|F2|＝10N.

2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　)

A．(－2，－2)   B．(2，－2)

C．(－1,2)   D．(－2,2)

考点　向量在力学中的应用

题点　求合力

答案　D

解析　由物理知识，知物体平衡，则所受合力为0，所以F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(－2,2)，故选D.

3．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)

A．(9,1)   B．(1,9)

C．(9,0)   D．(0,9)

考点　向量在力学中的应用

题点　求合力

答案　A

解析　F＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F的终点为P(x，y)，则＝＋F＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．

4．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)

A．(－2,4)   B．(－30,25)

C．(10，－5)   D．(5，－10)

考点　向量在运动学中的应用

题点　求位移

答案　C

解析　设点(－10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，

由题意可知，＝5ν，

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，

所以解得

5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)

A．5N B．5N

C．10N D．5N

考点　向量在力学中的应用

题点　求分力

答案　B

解析　如图，有|F1|＝|F|cos60°＝10×＝5(N)．

6．河水的流速为5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)

A．13m/s   B．12 m/s

C．17m/s   D．15 m/s

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

答案　A

解析　设小船在静水中的速度为v1，

河水的流速为v2，

v1与v2的合速度为v，

∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向对岸，

∴静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．

7．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)

A．30°B．60°C．90°D．120°

考点　向量在力学中的应用

题点　求分力

答案　D

解析　作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，

则＝＋，

当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，

所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.

二、填空题

8．飞机以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______ km/h.

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

答案　150

解析　如图所示，

|v1|＝|v|cos30°＝300×＝150(km/h)．

9．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________．

考点　向量在运动学中的应用

题点　求做功

答案　－40

解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，

∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．

又∵＝(0－1,5－1)＝(－1,4)，

∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，

即三个力的合力做的功等于－40.

10．一个重20N的物体从倾斜角为θ，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则θ＝________.

考点　向量在运动学中的应用

题点　求方向

答案　30°

解析　∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)

＝20×1×cos(90°－θ)＝10J，

∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°.

11．河水的流速为2m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

答案　2

解析　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2m/s，|v|＝10 m/s.

所以|v2|＝|v－v1|＝

＝＝＝2(m/s)．

三、解答题

12．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．

考点　向量在运动学中的应用

题点　求速度

解　如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行的速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴|v0＋v1|＝＝4.

故船实际航行的速度为4千米/时．

13．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．

考点　向量在力学中的应用

题点　求做功

解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)

＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，

W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.

(2)W＝F·＝(F1＋F2)·

＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)

＝(9，－1)·(－13，－15)

＝9×(－13)＋(－1)×(－15)

＝－117＋15＝－102.

∴合力F对质点所做的功为－102.

四、探究与拓展

14.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号)

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

考点　向量在力学中的应用

题点　求分力

答案　①③

解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.

∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．

∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．