高中数学3.2 一元二次不等式及其解法第4课时导学案

第4课时 一元二次不等式(3)

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学习要求

1．学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题 

2．学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题

【课堂互动】

自学评价

1．不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为　　m<－1或m>1　　　　　　

2．方程x2+(m-3)x+m=0的解集为，则m取值范围为　1<m<9　　　　　　　

【精典范例】

例1已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。

【解】

当k=0时不合题。

当时，由

解得  ．

变式：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为，求k的取值范围。

答案：

思维点拔：

1。若ax2+bx+c>0恒成立(即解集为R)，则

或

2。若ax2+bx+c>0解集为φ，则

或

追踪训练一

１．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立．

解：或

　解得：

2．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c的值，若不存在，说明理由．

解：易知f(1)=1.

于是由得

所以

所以恒成立．

所以．

例２. 分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:

(1)两根都大于－5 ;

(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .

解：设作草图后得．

（１）进而得

（２）得

例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围.

【解】分Ａ＝与Ａφ两情况，最终可求出．

思维点拔：

１．实根分布问题解题步骤

(1)化方程一边为零;

(2)设非零一边为函数f(x);

 (3)画函数f(x)的符合题意的草图；

(4)根据草图列不等式组；

 (5)解不等式组．

２．分类讨论不要重复和遗漏．

追踪训练二

方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．

答案：

【选修延伸】

不等式区间 [a,b]上恒成立问题

若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．

思路：令，

则

椐题意知由得．

思维点拔：

对于不等式f(x)≥M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最小值．

类似地，对于不等式f(x)≤M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最大值

追踪训练三

１．       已知不等式1≤－x2＋x+a≤在x[-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．

答案：

２．设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围

答案：设，结合图象知，可解出