必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性学案

3.1.1二元一次不等式组与平面区域

【教学目标】

1初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。

2了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

3培养学生观察分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合化归数形结合的数学思想。

【重点与难点】

探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。

【教学过程】

一、创设问题情景，激发学生兴趣

问题1：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？

上述关系如下表：

解：设首钢有x个车间投入生产，鞍钢有y个车间投入生产，根据题意，列出不等式组：

0≤x≤4

0≤y≤6

x+y≤8      （x,yN）

10x+8y≥60

列出不等式组之后，对不等式（组）解释，满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。

二、探究二元一次不等式表示的平面区域

问题2：二元一次不等式x+y＞8在平面直角坐标系下表示什么区域？

活动一：由数到形

在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－8=0分成三类：即在直线x＋y－8=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。

【学生尝试】设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足x+y＞8。

在坐标系中将满足不等式的解所对应的点 描绘到坐标系下，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。

【共同归纳】一般地，Ax＋By＋C＞0（＜0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．

提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．画不等式Ax＋By＋C≥0则把边界直线画成实线．

活动二：由形到数

【学生尝试】让学生尝试在直线x＋y－8=0的右上方多取若干点，计算x＋y－8的值，发现都是大于零。

【共同证明】如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线x＋y－8=0的右上方任取一点A(xA,yA),为了与直线x＋y－8=0的点发生联系，不妨过A点作与x轴垂直的直线交直线x＋y－1=0于P(xp,yp)点。则有xA= xp ，yA＞yp，所以xA＋yA－8＞xp＋yp－8=0 。所以对于在直线x＋y－8=0的右上方任一点A(x,y)都有 x＋y－8＞0。同理可得，在直线x＋y－8=0的左上方任一点都能使x＋y－8＜0成立。

【共同归纳】由于对直线Ax＋By＋C=0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点。

说明：做平面区域时，一般情况用点（0，0），（-1，0）,(0,1)进行试验，若特殊点使Ax+By+C＞0则，同一侧所有的点都大于零；反之亦然。

三、例题

例1．画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域。

例2． 画出不等式组表示的平面区域.

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分

解：不等式-y+5≥0表示直线-y+5=0（画成实线）上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:

四、课堂练习：

1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域.

2．画出不等式组表示的平面区域

练习：绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。

问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）（4，3），（4，4）计算可得，最多可浇铸72根钢柱，最少要用7个车间。

五、小结 ： “二元一次不等式表示平面区域”:

（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；

（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0

补充：设等比数列的公比为，

（1）          求的取值范围

（2）    设，记的前n项和为，试比较的大小

3.3.2简单的线性规划问题

教学目的：

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题

教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解

教学过程：

一、复习引入：

1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）二、二、讲解新课：

1. 请同学们来看这样一个问题:

设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件

求t的最大值和最小值

分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.

作一组与直线的平行的直线：:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线），从而观察t值的变化：

从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.

点（0，0）在直线：2x+y=0上.

作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):2x+y=t,t∈R.

可知，当在的右上方时，直线上的点（x,y)满足2x+y＞0,

即t＞0.

而且，直线往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线所对应的t最小.

所以： =2×5+2=12,=2×1+3=3

2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解

三、讲解范例

例1 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值

分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点  

解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125） ， 点B（150，0），点C的坐标由方程组

得C（），

令t=300x+900y，

即y=-,

欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500

评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

例2  要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：

今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少

解：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则

  作出可行域(如图)：

目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A()，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解

答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根

四、课堂练习：

1．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件

2. 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?

五、小结

求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解